Упр.870 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Доказать, что ни при каком целом n значение выражения $$n^2+5n+16$$ не делится на $$169$$.

Преобразуем выражение:

$$n^2+5n+16=n^2-8n+16+13n=(n-4)^2+13n.$$

Если бы число $$n^2+5n+16$$ делилось на $$169$$, то и выражение $$(n-4)^2+13n$$ должно было бы делиться на $$169$$.

Рассмотрим это по модулю $$13$$. Так как $$169=13^2$$, то для делимости на $$169$$ необходимо, чтобы число $$n-4$$ делилось на $$13$$. Значит,

$$n=4+13k,$$

где $$k$$ — целое число.

Подставим:

$$(4+13k)^2+5(4+13k)+16 =16+104k+169k^2+20+65k+16 =169k^2+169k+52.$$

Получили:

$$169k^2+169k+52=169(k^2+k)+52.$$

Это число не делится на $$169$$, так как остаток равен $$52$$, а $$52$$ на $$169$$ не делится.

Следовательно, при любом целом $$n$$ выражение $$n^2+5n+16$$ не делится на $$169$$.

Ответ

При любом целом $$n$$ число $$n^2+5n+16$$ не делится на $$169$$.