Упр.869 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не является квадратом натурального числа.

Подробный ответ

Пусть пять последовательных натуральных чисел — это $$n-2,\; n-1,\; n,\; n+1,\; n+2.$$ Тогда их сумма квадратов равна

$$ (n-2)^2+(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2 $$

$$ = n^2-4n+4+n^2-2n+1+n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4 $$

$$ =5n^2+10=5(n^2+2). $$

Если это число является квадратом натурального числа, то оно должно делиться на $5$. Значит, и число $$n^2+2$$ должно делиться на $5$.

Пусть $$n=5k+r,$$ где $$r\in\{0,1,2,3,4\}.$$ Тогда

$$ n^2+2=(5k+r)^2+2=25k^2+10kr+r^2+2=5(5k^2+2kr)+r^2+2. $$

Чтобы $$n^2+2$$ делилось на $5$, число $$r^2+2$$ тоже должно делиться на $5$. Проверим все возможные остатки:

$$ r=0 \Rightarrow r^2+2=2,\quad r=1 \Rightarrow 3,\quad r=2 \Rightarrow 6,\quad r=3 \Rightarrow 11,\quad r=4 \Rightarrow 18. $$

Ни одно из этих чисел не делится на $5$. Значит, $$n^2+2$$ не делится на $5$, а следовательно, и число $$5(n^2+2)$$ не может быть квадратом натурального числа.

Итак, сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не является квадратом натурального числа.