Упр.868 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что сумма квадратов двух нечетных чисел не может быть квадратом натурального числа.

Подробный ответ

Пусть два нечётных числа имеют вид $$2n+1$$ и $$2m+1$$, где $$n$$ и $$m$$ — натуральные числа или целые числа.

Тогда сумма их квадратов равна:

$$ (2n+1)^2+(2m+1)^2=4n^2+4n+1+4m^2+4m+1 $$

$$ =4(n^2+n+m^2+m)+2. $$

Полученное число при делении на $$4$$ даёт остаток $$2$$, то есть оно чётное, но не делится на $$4$$.

А квадрат натурального числа может давать при делении на $$4$$ только остаток $$0$$ или $$1$$. Значит, число вида $$4k+2$$ не может быть квадратом натурального числа.

Следовательно, сумма квадратов двух нечётных чисел не может быть квадратом натурального числа.