Упр.866 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что разность между трехзначным числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, не может равняться квадрату натурального числа.

Пусть трёхзначное число имеет вид $$x=100a+10b+c,$$ а число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, равно $$y=100c+10b+a,$$ где $$a$$ и $$c$$ — цифры от $$1$$ до $$9$$, а $$b$$ — цифра от $$0$$ до $$9$$.

Найдём их разность:

$$ x-y=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99a-99c=99(a-c). $$

Значит, разность всегда делится на $$99$$.

Если бы эта разность была квадратом натурального числа, то число $$99(a-c)$$ должно было бы быть полным квадратом. Но число, кратное $$99$$, может быть квадратом только тогда, когда множитель $$a-c$$ сам содержит достаточно большие множители, чтобы произведение стало квадратом. При этом $$a-c$$ — разность цифр, значит $$|a-c|\le 8$$.

Следовательно, $$99(a-c)$$ не может быть квадратом натурального числа.

Ответ

Разность между таким трёхзначным числом и числом, записанным теми же цифрами в обратном порядке, не может равняться квадрату натурального числа.