Упр.865 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Найти пятизначное число, если известно, что при умножении этого числа на 9 получается пятизначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

Подробный ответ

Пусть искомое пятизначное число имеет вид $$x=10000a+1000b+100c+10d+e,$$ где $$a\neq 0.$$

По условию при умножении на $$9$$ получается число, записанное теми же цифрами в обратном порядке:

$$9x=10000e+1000d+100c+10b+a.$$

Так как произведение $$9x$$ тоже пятизначное, то первая цифра исходного числа должна быть $$a=1$$, иначе число $$9x$$ стало бы шестизначным. Тогда последняя цифра произведения равна $$e=9$$.

Подставим это в равенство:

$$9(10000+1000b+100c+10d+9)=90000+1000d+100c+10b+1.$$

Раскроем скобки и упростим:

$$90000+9000b+900c+90d+81=90000+1000d+100c+10b+1,$$

$$8990b+800c+80=910d,$$

$$899b+80c+8=91d.$$

Так как $$d$$ — цифра, то правая часть не превосходит $$91\cdot 9=819.$$ Если бы $$b\ge 1,$$ то левая часть была бы не меньше $$899,$$ что невозможно. Значит, $$b=0.$$

Тогда получаем:

$$80c+8=91d.$$

Левая часть делится на $$8,$$ значит и правая должна делиться на $$8.$$ Так как $$91\equiv 3 \pmod 8,$$ то число $$d$$ должно быть кратно $$8.$$ Поскольку $$d$$ — цифра, получаем $$d=8.$$

Тогда

$$80c+8=91\cdot 8=728,$$

$$80c=720,$$

$$c=9.$$

Искомое число:

$$10989.$$

Проверка:

$$10989\cdot 9=98901.$$