Упр.864 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что при любом целом n значение выражения n^5-5n^3+4n делится на 120.

Подробный ответ

Преобразуем выражение:

$$ n^5-5n^3+4n=n(n^4-5n^2+4)=n\bigl((n^2)^2-5n^2+4\bigr). $$

Обозначим $$x=n^2$$. Тогда

$$ x^2-5x+4=(x-1)(x-4). $$

Следовательно,

$$ n^5-5n^3+4n=n(n^2-1)(n^2-4)=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2). $$

Это произведение пяти последовательных целых чисел: $$n-2,\; n-1,\; n,\; n+1,\; n+2$$. Среди любых пяти последовательных целых чисел обязательно есть число, делящееся на $$5$$, одно число, делящееся на $$4$$, одно число, делящееся на $$3$$ и хотя бы одно чётное число. Значит, произведение делится на

$$ 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

Следовательно, выражение $$n^5-5n^3+4n$$ делится на $$120$$ при любом целом $$n$$.