Упр.863 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что при любом целом n значение выражения n^5-n делится на 30.

Подробный ответ

Разложим выражение на множители:

$$n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1).$$

Произведение $$n(n-1)(n+1)$$ — это произведение трёх последовательных целых чисел, значит, одно из них делится на $$2$$, а одно — на $$3$$. Следовательно, всё произведение делится на $$6$$.

Осталось показать, что выражение делится на $$5$$.

Если одно из чисел $$n-1$$, $$n$$, $$n+1$$ делится на $$5$$, то и всё выражение делится на $$5$$. Если же ни одно из них не делится на $$5$$, то число $$n$$ имеет вид $$n=5m+2$$ или $$n=5m+3$$, где $$m$$ — целое число.

Тогда:

$$ n^2+1=(5m+2)^2+1=25m^2+20m+4+1=25m^2+20m+5=5(5m^2+4m+1), $$

или

$$ n^2+1=(5m+3)^2+1=25m^2+30m+9+1=25m^2+30m+10=5(5m^2+6m+2). $$

В обоих случаях $$n^2+1$$ делится на $$5$$.

Итак, выражение $$n^5-n$$ делится и на $$6$$, и на $$5$$. Так как $$6$$ и $$5$$ взаимно просты, то $$n^5-n$$ делится на $$30$$.