Упр.861 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что значение выражения n^3+11n делится на 6 при любом натуральном n.

Преобразуем выражение:

$$n^3+11n=n^3-n+12n=n(n^2-1)+12n=n(n-1)(n+1)+12n.$$

Рассмотрим произведение $$n(n-1)(n+1).$$ Это произведение трёх последовательных натуральных чисел, значит, одно из них делится на $$2$$, а одно — на $$3$$. Следовательно, всё произведение делится на $$6$$.

Число $$12n$$ также делится на $$6$$.

Значит, сумма $$n(n-1)(n+1)+12n$$ делится на $$6$$, то есть и выражение $$n^3+11n$$ делится на $$6$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

$$n^3+11n$$ делится на $$6$$ при любом натуральном $$n$$.