Упр.86 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) ((a+1)/(2a-2) + 6/(2a^2-2) — (a+3)/(2a+2)) · (4a^2-4)/3;
2) (a^2-c^2)/(a+b) · (a^2-b^2)/(ac+c^2 ) · (a + ac/(a-c));
3) (b/(a^2+ab) + 2/(a+b) + a/(b^2+ab)) : (a^2-b^2)/4ab;
4) (c^2-ac)/(a^2-b^2 ) · (a-b)/(c^2-a^2 ) : (c — ac/(a+c)).
При каких значениях y верно неравенство:
1) -2y>0;
2) -3y<0; 3) y^2+1?0; 4) 2y^2+3?0; 5) (y-1)^2?0; 6) (y+2)^2>0.

1. $$\left(\frac{a+1}{2a-2}+\frac{6}{2a^2-2}-\frac{a+3}{2a+2}\right)\cdot \frac{4a^2-4}{3}$$

   Разложим знаменатели на множители:
   $$2a-2=2(a-1), \quad 2a^2-2=2(a-1)(a+1), \quad 2a+2=2(a+1), \quad 4a^2-4=4(a^2-1).$$

   Тогда
   $$ \left(\frac{a+1}{2(a-1)}+\frac{6}{2(a-1)(a+1)}-\frac{a+3}{2(a+1)}\right)\cdot \frac{4(a^2-1)}{3} $$

   Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:
   $$ \frac{(a+1)^2+6-(a+3)(a-1)}{2(a-1)(a+1)}\cdot \frac{4(a^2-1)}{3} $$

   $$ \frac{a^2+2a+1+6-a^2-2a+3}{2(a^2-1)}\cdot \frac{4(a^2-1)}{3} = \frac{10}{2(a^2-1)}\cdot \frac{4(a^2-1)}{3} $$

   $$ =\frac{10\cdot 4}{2\cdot 3}=\frac{20}{3}=6\frac{2}{3} $$

2. $$ \frac{a^2-c^2}{a+b}\cdot \frac{a^2-b^2}{ac+c^2}\cdot \left(a+\frac{ac}{a-c}\right) $$

   Разложим на множители:
   $$ a^2-c^2=(a-c)(a+c), \quad a^2-b^2=(a-b)(a+b), \quad ac+c^2=c(a+c). $$

   Тогда
   $$ \frac{(a-c)(a+c)}{a+b}\cdot \frac{(a-b)(a+b)}{c(a+c)}\cdot \left(a+\frac{ac}{a-c}\right) $$

   Упростим скобку:
   $$ a+\frac{ac}{a-c}=\frac{a(a-c)+ac}{a-c}=\frac{a^2}{a-c}. $$

   Получаем
   $$ \frac{(a-c)(a-b)}{c}\cdot \frac{a^2}{a-c}=\frac{a^2(a-b)}{c}. $$

3. $$ \left(\frac{b}{a^2+ab}+\frac{2}{a+b}+\frac{a}{b^2+ab}\right):\frac{a^2-b^2}{4ab} $$

   Разложим знаменатели:
   $$ a^2+ab=a(a+b), \quad b^2+ab=b(a+b), \quad a^2-b^2=(a-b)(a+b). $$

   Тогда
   $$ \left(\frac{b}{a(a+b)}+\frac{2}{a+b}+\frac{a}{b(a+b)}\right):\frac{(a-b)(a+b)}{4ab} $$

   Приведём сумму в скобках к общему знаменателю:
   $$ \frac{b^2+2ab+a^2}{ab(a+b)}=\frac{(a+b)^2}{ab(a+b)}=\frac{a+b}{ab}. $$

   Деление заменим умножением на обратную дробь:
   $$ \frac{a+b}{ab}\cdot \frac{4ab}{(a-b)(a+b)}=\frac{4}{a-b}. $$

4. $$ \frac{c^2-ac}{a^2-b^2}\cdot \frac{a-b}{c^2-a^2}:\left(c-\frac{ac}{a+c}\right) $$

   Разложим на множители:
   $$ c^2-ac=c(c-a), \quad a^2-b^2=(a-b)(a+b), \quad c^2-a^2=(c-a)(c+a). $$

   Тогда
   $$ \frac{c(c-a)}{(a-b)(a+b)}\cdot \frac{a-b}{(c-a)(c+a)}:\left(c-\frac{ac}{a+c}\right) $$

   Сократим:
   $$ \frac{c}{(a+b)(a+c)}:\left(c-\frac{ac}{a+c}\right). $$

   Упростим скобку:
   $$ c-\frac{ac}{a+c}=\frac{c(a+c)-ac}{a+c}=\frac{c^2}{a+c}. $$

   Тогда
   $$ \frac{c}{(a+b)(a+c)}:\frac{c^2}{a+c} = \frac{c}{(a+b)(a+c)}\cdot \frac{a+c}{c^2} = \frac{1}{c(a+b)}. $$

Ответ

1. $$6\frac{2}{3}$$
2. $$\frac{a^2(a-b)}{c}$$
3. $$\frac{4}{a-b}$$
4. $$\frac{1}{c(a+b)}$$

Ход решения

1. $$-2y>0$$

   Делим на $$-2$$ и меняем знак неравенства:

   $$y<0$$

2. $$-3y<0$$

   Делим на $$-3$$ и меняем знак неравенства:

   $$y>0$$

3. $$y^2+1\ge 0$$

   Так как $$y^2\ge 0$$ при любом $$y$$, то неравенство верно для всех действительных чисел.

4. $$2y^2+3\ge 0$$

   Так как $$2y^2\ge 0$$, то $$2y^2+3>0$$ при любом $$y$$.

5. $$\left(y-1\right)^2\le 0$$

   Квадрат неотрицателен, значит возможно только:

   $$\left(y-1\right)^2=0,\quad y=1$$

6. $$\left(y+2\right)^2>0$$

   Квадрат положителен при всех значениях, кроме случая, когда он равен нулю:

   $$y+2\ne 0,\quad y\ne -2$$

Ответ

1. $$y<0$$
2. $$y>0$$
3. любое число
4. любое число
5. $$y=1$$
6. $$y\ne -2$$