Упр.856 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что сумма ?333?^555+?555?^333 делится на 37.

Представим числа $$333$$ и $$555$$ в виде произведений:

$$333=111\cdot 3,\qquad 555=111\cdot 5.$$

Тогда

$$ 333^{555}+555^{333}=(111\cdot 3)^{555}+(111\cdot 5)^{333}. $$

Так как $$111=37\cdot 3,$$ получаем

$$ (111\cdot 3)^{555}+(111\cdot 5)^{333}=(37\cdot 3\cdot 3)^{555}+(37\cdot 3\cdot 5)^{333}. $$

Следовательно,

$$ (37\cdot 9)^{555}+(37\cdot 15)^{333}=37^{555}\cdot 9^{555}+37^{333}\cdot 15^{333}. $$

Вынесем $$37^{333}$$ за скобки:

$$ 37^{555}\cdot 9^{555}+37^{333}\cdot 15^{333} =37^{333}\bigl(37^{222}\cdot 9^{555}+15^{333}\bigr). $$

Значит, данная сумма делится на $$37$$.

Ответ

$$333^{555}+555^{333}$$ делится на $$37$$.