Упр.854 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что если из трехзначного числа вычесть трехзначное число, записанное теми же цифрами, что и первое, но в обратном порядке, то модуль полученной разности будет делиться на 9 и 11.

Пусть трёхзначное число имеет вид $$abc=100a+10b+c.$$

Тогда число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, равно $$cba=100c+10b+a.$$

Найдём разность:

$$ \begin{aligned} abc-cba&=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)\\ &=99a-99c\\ &=99(a-c). \end{aligned} $$

Следовательно, модуль этой разности равен $$|99(a-c)|=99|a-c|.$$

Так как $$99=9\cdot 11,$$ то число $$99|a-c|$$ делится и на $$9,$$ и на $$11.$$

Ответ

$$|abc-cba|$$ делится на $$9$$ и на $$11.$$