Упр.852 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: (Задача Л. Эйлера) Две крестьянки принесли на рынок 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 2/3 крейцера». Сколько яиц было у каждой?

Пусть у первой крестьянки было $$x$$ яиц, тогда у второй — $$100-x$$ яиц.

Так как обе выручили одинаковые суммы, обозначим цену одного яйца у первой крестьянки через $$\frac{15}{100-x}$$ крейцера, а у второй — через $$\frac{6\frac{2}{3}}{x}=\frac{20}{3x}$$ крейцера.

По условию, если бы у первой были яйца второй, она выручила бы 15 крейцеров, а если бы у второй были яйца первой, она выручила бы $$6\frac{2}{3}$$ крейцера. Составим уравнение:

$$ x\cdot \frac{15}{100-x}=(100-x)\cdot \frac{20}{3x} $$

Умножим обе части на $$3x(100-x)$$:

$$ 45x^2=20(100-x)^2 $$

Раскроем скобки:

$$ 45x^2=20(10000-200x+x^2) $$

$$ 45x^2=200000-4000x+20x^2 $$

$$ 25x^2+4000x-200000=0 $$

Разделим на $$25$$:

$$ x^2+160x-8000=0 $$

Найдём корни:

$$ D=160^2+4\cdot 8000=25600+32000=57600 $$

$$ \sqrt{D}=240 $$

$$ x=\frac{-160\pm 240}{2} $$

Получаем:

$$ x_1=40,\qquad x_2=-200 $$

Отрицательный корень не подходит. Значит, у первой крестьянки было $$40$$ яиц, а у второй —

$$ 100-40=60 $$

Ответ

40 яиц и 60 яиц.