Упр.85 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) (64x^2 y^2-1)/(x^2-4) · (x+2)^2/(x^2-4) · (x-2)^2/(8xy+1);
2) (ab-4b-2a+8)/(2a+8-ab-4b) : (2a-8-ab+4b)/(ab+4b-2a-8);
3) (x-6)/(x^2+6x+9) · (x^2+4x+4)/(x^2+2)(x-2) · (x^3-9x)/(x-6)(x+2);
4) (am^2-an^2)/(m^2+2mn+n^2 ) : (am^2-2amn+an^2)/(3m+3n).
Какие из чисел 10, 1/2, 0, -1, -2, -5 являются решениями неравенства:
1) 3x+4>2; 2) 3x+4?x;
3) 1/2 x-3?1-x; 4) 3-x?1/2 x.

1. $$\frac{64x^2y^2-1}{x^2-4}\cdot\frac{(x+2)^2}{x^2-4}\cdot\frac{(x-2)^2}{8xy+1}$$

   Разложим на множители:
   $$64x^2y^2-1=(8xy-1)(8xy+1), \quad x^2-4=(x-2)(x+2).$$

   Тогда
   $$ \frac{(8xy-1)(8xy+1)}{(x-2)(x+2)}\cdot\frac{(x+2)^2}{(x-2)(x+2)}\cdot\frac{(x-2)^2}{8xy+1} $$
   $$ =8xy-1. $$

2. $$\frac{ab-4b-2a+8}{2a+8-ab-4b}:\frac{2a-8-ab+4b}{ab+4b-2a-8}$$

   Разложим на множители:
   $$ ab-4b-2a+8=(a-4)(b-2), $$
   $$ 2a+8-ab-4b=(a+4)(2-b), $$
   $$ 2a-8-ab+4b=(a-4)(2-b), $$
   $$ ab+4b-2a-8=(a+4)(b-2). $$

   Тогда
   $$ \frac{(a-4)(b-2)}{(a+4)(2-b)}:\frac{(a-4)(2-b)}{(a+4)(b-2)} = \frac{(a-4)(b-2)}{(a+4)(2-b)}\cdot\frac{(a+4)(b-2)}{(a-4)(2-b)}. $$

   Так как $$2-b=-(b-2),$$ получаем
   $$ \frac{(b-2)(b-2)}{(2-b)(2-b)}=1. $$

3. $$\frac{x-6}{x^2+6x+9}\cdot\frac{x^2+4x+4}{(x^2+2)(x-2)}\cdot\frac{x^3-9x}{(x-6)(x+2)}$$

   Разложим на множители:
   $$ x^2+6x+9=(x+3)^2,\quad x^2+4x+4=(x+2)^2, $$
   $$ x^3-9x=x(x^2-9)=x(x-3)(x+3). $$

   Тогда
   $$ \frac{x-6}{(x+3)^2}\cdot\frac{(x+2)^2}{(x^2+2)(x-2)}\cdot\frac{x(x-3)(x+3)}{(x-6)(x+2)} $$
   $$ =\frac{x(x+2)(x-3)}{(x+3)(x^2+2)(x-2)}. $$

4. $$\frac{am^2-an^2}{m^2+2mn+n^2}:\frac{am^2-2amn+an^2}{3m+3n}$$

   Разложим на множители:
   $$ am^2-an^2=a(m^2-n^2)=a(m-n)(m+n), $$
   $$ m^2+2mn+n^2=(m+n)^2, $$
   $$ am^2-2amn+an^2=a(m-n)^2, $$
   $$ 3m+3n=3(m+n). $$

   Тогда
   $$ \frac{a(m-n)(m+n)}{(m+n)^2}:\frac{a(m-n)^2}{3(m+n)} = \frac{a(m-n)}{m+n}\cdot\frac{3(m+n)}{a(m-n)^2} = \frac{3}{m-n}. $$

Ответ

1. $$8xy-1$$
2. $$1$$
3. $$\frac{x(x+2)(x-3)}{(x+3)(x^2+2)(x-2)}$$
4. $$\frac{3}{m-n}$$

Ход решения

1. $$3x+4>2$$
   $$3x>-2$$
   $$x>-\frac{2}{3}.$$

   Из чисел $$10,\ \frac12,\ 0,\ -1,\ -2,\ -5$$ подходят $$10,\ \frac12,\ 0$$.

2. $$3x+4\le x$$
   $$2x\le -4$$
   $$x\le -2.$$

   Подходят $$-2,\ -5$$.

3. $$\frac12x-3\ge 1-x$$
   $$\frac12x+x\ge 4$$
   $$\frac32x\ge 4$$
   $$x\ge \frac{8}{3}.$$

   Из данных чисел подходит только $$10$$.

4. $$3-x\ge \frac12x$$
   $$3\ge \frac32x$$
   $$x\le 2.$$

   Подходят $$1,\ \frac12,\ 0,\ -1,\ -2,\ -5$$.

Ответ

1. $$10,\ \frac12,\ 0$$
2. $$-2,\ -5$$
3. $$10$$
4. $$1,\ \frac12,\ 0,\ -1,\ -2,\ -5$$