Упр.847 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: (Задача Диофанта) Катет прямоугольного треугольника равен кубу числа, другой катет равен разности между кубом числа и самим числом, а гипотенуза равна сумме куба числа и самого числа. Найти это число.

Пусть искомое число равно $$a$$. Тогда катеты прямоугольного треугольника равны $$a^3$$ и $$a^3-a$$, а гипотенуза равна $$a^3+a$$.

По теореме Пифагора:

$$ (a^3+a)^2=(a^3)^2+(a^3-a)^2 $$

Раскроем скобки:

$$ a^6+2a^4+a^2=a^6+a^6-2a^4+a^2 $$

$$ a^6+2a^4+a^2=2a^6-2a^4+a^2 $$

Перенесём всё в одну сторону:

$$ -a^6+4a^4=0 $$

$$ -a^4(a^2-4)=0 $$

Отсюда:

$$ a^4=0 \quad \text{или} \quad a^2=4 $$

$$ a=0 \quad \text{или} \quad a=\pm 2 $$

Так как катет должен быть положительным, то $$a>0$$. Кроме того, $$a^3-a>0$$, значит подходит только $$a=2$$.

Ответ

$$2$$