Упр.846 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: (Задача Архимеда) Доказать равенство 1^2+2^2+3^2+?+n^2=1/6 n(n+1)(2n+1).

Докажем равенство методом математической индукции:

$$1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\frac16n(n+1)(2n+1).$$

1. База индукции. При $$n=1$$ имеем:

$$1^2=\frac16\cdot1\cdot(1+1)\cdot(2\cdot1+1)=\frac16\cdot1\cdot2\cdot3=1.$$

Равенство верно.

2. Индукционный переход. Пусть при $$n=k$$ равенство верно:

$$1^2+2^2+3^2+\dots+k^2=\frac16k(k+1)(2k+1).$$

Докажем, что тогда оно верно и при $$n=k+1$$:

$$1^2+2^2+3^2+\dots+k^2+(k+1)^2=\frac16k(k+1)(2k+1)+(k+1)^2.$$

Преобразуем правую часть:

$$ \frac16k(k+1)(2k+1)+(k+1)^2 =(k+1)\left(\frac16k(2k+1)+k+1\right) $$

$$ =(k+1)\left(\frac{2k^2+k+6k+6}{6}\right) =\frac16(k+1)(2k^2+7k+6). $$

Разложим многочлен на множители:

$$2k^2+7k+6=(k+2)(2k+3).$$

Тогда

$$ \frac16(k+1)(2k^2+7k+6) =\frac16(k+1)(k+2)(2k+3) =\frac16(k+1)\bigl((k+1)+1\bigr)\bigl(2(k+1)+1\bigr). $$

Значит,

$$1^2+2^2+3^2+\dots+(k+1)^2=\frac16(k+1)\bigl((k+1)+1\bigr)\bigl(2(k+1)+1\bigr).$$

Следовательно, равенство верно при любом натуральном $$n$$.

Ответ

$$1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\frac16n(n+1)(2n+1).$$