Упр.845 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: (Задача Пифагора) Доказать, что сумма любого числа последовательных нечетный чисел, начиная с единицы, есть точный квадрат.

Рассмотрим сумму первых $$n$$ нечётных чисел:

$$1+3+5+\dots+(2n-3)+(2n-1).$$

Сложим первое и последнее, второе и предпоследнее числа:

$$1+(2n-1)=2n,$$

$$3+(2n-3)=2n,$$

$$5+(2n-5)=2n,$$

и так далее.

Всего таких пар будет $$\frac{n}{2}$$, поэтому сумма равна

$$2n\cdot \frac{n}{2}=n^2.$$

Значит, сумма любого числа последовательных нечётных чисел, начиная с единицы, является точным квадратом.

Ответ

$$1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2.$$