Упр.84 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) (a+b)/a — a/(a-b) — b^2/(a^2-ab);
2) (5b-1)/(3b^2-3) + (b+2)/(2b+2) — (b+1)/(b-1);
3) 6a/(9a^2-1) + (3a+1)/(3-9a) + (3a-1)/(6a+2);
4) 7/m — 4/(m-2n) — (m-n)/(4n^2-m^2 );
5) x — xy/(x+y) — x^3/(x^2-y^2 );
6) a — 2 + 4a/(2+a) — (a^3+b)/(a^2+2a).
Записать в виде неравенства утверждение:
1) сумма чисел x и 17 больше 18;
2) разность чисел 13 и x меньше 2;
3) произведение чисел 17 и x не меньше 3;
4) удвоенная сумма чисел x и -3 не больше 2;
5) полусумма чисел x и 3 не больше их произведение;
6) удвоенное произведение чисел x и -4 не меньше их разности.

1. $$\frac{a+b}{a}-\frac{a}{a-b}-\frac{b^2}{a^2-ab}=\frac{a+b}{a}-\frac{a}{a-b}-\frac{b^2}{a(a-b)}$$
   $$=\frac{(a+b)(a-b)-a^2-b^2}{a(a-b)}$$
   $$=\frac{a^2-b^2-a^2-b^2}{a(a-b)}=\frac{-2b^2}{a(a-b)}=\frac{2b^2}{a(b-a)}$$

2. $$\frac{5b-1}{3b^2-3}+\frac{b+2}{2b+2}-\frac{b+1}{b-1}=\frac{5b-1}{3(b-1)(b+1)}+\frac{b+2}{2(b+1)}-\frac{b+1}{b-1}$$
   $$=\frac{2(5b-1)+3(b+2)(b-1)-6(b+1)^2}{6(b-1)(b+1)}$$
   $$=\frac{10b-2+3(b^2-b+2b-2)-6(b^2+2b+1)}{6(b^2-1)}$$
   $$=\frac{10b-2+3b^2+3b-6-6b^2-12b-6}{6(b^2-1)}$$
   $$=\frac{b-3b^2-14}{6(b^2-1)}$$

3. $$\frac{6a}{9a^2-1}+\frac{3a+1}{3-9a}+\frac{3a-1}{6a+2}=\frac{6a}{(3a-1)(3a+1)}-\frac{3a+1}{3(3a-1)}+\frac{3a-1}{2(3a+1)}$$
   $$=\frac{6a\cdot 6-2(3a+1)^2+3(3a-1)^2}{6(3a-1)(3a+1)}$$
   $$=\frac{36a-2(9a^2+6a+1)+3(9a^2-6a+1)}{6(9a^2-1)}$$
   $$=\frac{36a-18a^2-12a-2+27a^2-18a+3}{6(9a^2-1)}$$
   $$=\frac{9a^2+6a+1}{6(9a^2-1)}=\frac{(3a+1)^2}{6(3a-1)(3a+1)}=\frac{3a+1}{6(3a-1)}$$

4. $$\frac{7}{m}-\frac{4}{m-2n}-\frac{m-n}{4n^2-m^2}=\frac{7}{m}-\frac{4}{m-2n}+\frac{m-n}{(m-2n)(m+2n)}$$
   $$=\frac{7(m^2-4n^2)-4m(m+2n)+m(m-n)}{m(m^2-4n^2)}$$
   $$=\frac{7m^2-28n^2-4m^2-8mn+m^2-mn}{m(m^2-4n^2)}$$
   $$=\frac{4m^2-28n^2-9mn}{m(m^2-4n^2)}$$

5. $$x-\frac{xy}{x+y}-\frac{x^3}{x^2-y^2}=\frac{x(x^2-y^2)-xy(x-y)-x^3}{x^2-y^2}$$
   $$=\frac{x^3-xy^2-x^2y+xy^2-x^3}{x^2-y^2}=\frac{-x^2y}{x^2-y^2}=\frac{x^2y}{y^2-x^2}$$

6. $$a-2+\frac{4a}{a+2}-\frac{a^3+b}{a^2+2a}=a-2+\frac{4a}{a+2}-\frac{a^3+b}{a(a+2)}$$
   $$=\frac{a(a-2)(a+2)+4a^2-a^3-b}{a(a+2)}$$
   $$=\frac{a^3-4a+4a^2-a^3-b}{a(a+2)}=\frac{4a^2-4a-b}{a(a+2)}$$

Ответ

1. $$\frac{2b^2}{a(b-a)}$$
2. $$\frac{b-3b^2-14}{6(b^2-1)}$$
3. $$\frac{3a+1}{6(3a-1)}$$
4. $$\frac{4m^2-28n^2-9mn}{m(m^2-4n^2)}$$
5. $$\frac{x^2y}{y^2-x^2}$$
6. $$\frac{4a^2-4a-b}{a(a+2)}$$

Ход решения

1. Сумма чисел $$x$$ и $$17$$ больше $$18$$:

   $$x+17>18$$

2. Разность чисел $$13$$ и $$x$$ меньше $$2$$:

   $$13-x<2$$

3. Произведение чисел $$17$$ и $$x$$ не меньше $$3$$:

   $$17x\ge 3$$

4. Удвоенная сумма чисел $$x$$ и $$-3$$ не больше $$2$$:

   $$2(x-3)\le 2$$

5. Полусумма чисел $$x$$ и $$3$$ не больше их произведения:

   $$\frac{x+3}{2}\le 3x$$

6. Удвоенное произведение чисел $$x$$ и $$-4$$ не меньше их разности:

   $$2\cdot(-4x)\ge x-(-4)$$

   $$-8x\ge x+4$$

Ответ

1. $$x+17>18$$
2. $$13-x<2$$
3. $$17x\ge 3$$
4. $$2(x-3)\le 2$$
5. $$\frac{x+3}{2}\le 3x$$
6. $$-8x\ge x+4$$