Упр.835 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) a^2+b^2+c^2?ab+bc+ac;
2) (a+b+c)^2?3(a^2+b^2+c^2 ).
Из пункта A в пункт B выехал мотоциклист, и одновременно навстречу ему из пункта B в пункт A выехал велосипедист. Мотоциклист прибыл в пункт B через 2 ч после встречи с велосипедистом, а велосипедист прибыл в пункт A через 4,5 ч после встречи с мотоциклистом. Сколько часов были в пути мотоциклист ии велосипедист?

Подробный ответ

1) Докажем неравенство

$$a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ac.$$

Перенесём всё в левую часть и умножим на $$2$$:

$$ 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac \ge 0. $$

Сгруппируем слагаемые:

$$ (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2 \ge 0. $$

Так как сумма квадратов неотрицательна при любых $$a, b, c$$, неравенство доказано.

2) Докажем неравенство

$$ (a+b+c)^2 \le 3(a^2+b^2+c^2). $$

Раскроем скобки и перенесём всё в одну сторону:

$$ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc \le 3a^2+3b^2+3c^2, $$

$$ 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc \ge 0. $$

Получаем:

$$ (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2 \ge 0. $$

Следовательно, неравенство верно для любых $$a, b, c$$.

3) Пусть скорость мотоциклиста равна $$x$$, а скорость велосипедиста — $$y$$. Время до встречи обозначим через $$t$$.

Тогда до встречи мотоциклист проехал $$2x$$, а велосипедист — $$4{,}5y$$. Так как они встретились в одной точке, то

$$2x=4{,}5y,$$

откуда

$$y=\frac{4}{9}x.$$

После встречи мотоциклист ехал до пункта $$B$$ ещё $$2$$ ч, значит весь его путь равен $$x(t+2)$$. Велосипедист после встречи ехал до пункта $$A$$ ещё $$4{,}5$$ ч, значит весь его путь равен $$y(t+4{,}5)$$. Поскольку расстояние между пунктами одно и то же, имеем:

$$x(t+2)=y(t+4{,}5).$$

Подставим $$y=\frac{4}{9}x$$:

$$ x(t+2)=\frac{4}{9}x(t+4{,}5). $$

Сократим на $$x$$:

$$ t+2=\frac{4}{9}(t+4{,}5). $$

$$ 9t+18=4t+18, $$

$$ 5t=0,\quad t=0. $$

Значит, встреча произошла в момент выезда, а время в пути мотоциклиста и велосипедиста равно соответственно:

$$2\text{ ч} \quad \text{и} \quad 4{,}5\text{ ч}.$$