Упр.835 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. $$a^2+b^2+c^2?ab+bc+ac$$
2. $$(a+b+c)^2?3(a^2+b^2+c^2)$$

Из пункта A в пункт B выехал мотоциклист, и одновременно навстречу ему из пункта B в пункт A выехал велосипедист. Мотоциклист прибыл в пункт B через 2 ч после встречи с велосипедистом, а велосипедист прибыл в пункт A через 4,5 ч после встречи с мотоциклистом. Сколько часов были в пути мотоциклист и велосипедист?

1) Докажем неравенство

$$a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ac.$$

Перенесём всё в левую часть и умножим на $$2$$:

$$2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac \ge 0.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2 \ge 0.$$

Так как сумма квадратов неотрицательна при любых $$a, b, c$$, неравенство доказано.

2) Докажем неравенство

$$(a+b+c)^2 \le 3(a^2+b^2+c^2).$$

Раскроем скобки и перенесём всё в одну сторону:

$$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc \le 3a^2+3b^2+3c^2,$$

$$2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc \ge 0.$$

Получаем:

$$(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2 \ge 0.$$

Следовательно, неравенство верно для любых $$a, b, c$$.

3) Пусть скорость мотоциклиста равна $$x$$, а скорость велосипедиста — $$y$$. Время до встречи обозначим через $$t$$.

Тогда до встречи мотоциклист проехал $$2x$$, а велосипедист — $$4{,}5y$$. Так как они встретились в одной точке, то

$$2x=4{,}5y,$$

откуда

$$y=\frac{4}{9}x.$$

После встречи мотоциклист ехал до пункта $$B$$ ещё $$2$$ ч, значит весь его путь равен $$x(t+2)$$. Велосипедист после встречи ехал до пункта $$A$$ ещё $$4{,}5$$ ч, значит весь его путь равен $$y(t+4{,}5)$$. Поскольку расстояние между пунктами одно и то же, имеем:

$$x(t+2)=y(t+4{,}5).$$

Подставим $$y=\frac{4}{9}x$$:

$$x(t+2)=\frac{4}{9}x(t+4{,}5).$$

Сократим на $$x$$:

$$t+2=\frac{4}{9}(t+4{,}5).$$

$$9t+18=4t+18,$$

$$5t=0,\quad t=0.$$

Значит, встреча произошла в момент выезда, а время в пути мотоциклиста и велосипедиста равно соответственно:

$$2\text{ ч} \quad \text{и} \quad 4{,}5\text{ ч}.$$

Ответ

1) $$a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ac$$; 2) $$(a+b+c)^2 \le 3(a^2+b^2+c^2)$$; время в пути: мотоциклист — $$2$$ ч, велосипедист — $$4{,}5$$ ч.