Упр.834 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) a+1/a+b+1/b?2vab+2/vab;
2) 1/a+1/b+1?1/va+1/vb+1/vab.
Пешеход и велосипедист отправляются из пункта A в пункт B одновременно. Прибыв в пункт B, велосипедист поворачивает обратно и встречает пешехода через 20 мин после начала движения. Не останавливаясь, велосипедист доезжает до пункта A, поворачивает обратно и догоняет пешехода через 10 мин после первой встречи. За какое время пешеход пройдет путь от A до B?

Подробный ответ

Обозначим через $$x$$ расстояние от $$A$$ до $$B$$, а через $$y$$ — путь, пройденный пешеходом до первой встречи.

Тогда велосипедист за первые $$20$$ мин проехал $$2x-y$$, а за следующие $$10$$ мин после первой встречи — путь от $$B$$ до $$A$$ и затем от $$A$$ до места второй встречи, то есть $$x+(y-\frac{1}{2}y)=x+\frac{1}{2}y$$.

Так как скорость велосипедиста постоянна, составим уравнение:

$$\frac{2x-y}{20}=\frac{x+\frac{1}{2}y}{10}$$

Умножим обе части на $$20$$:

$$2x-y=2x+y$$

Отсюда

$$y=0$$

Это невозможно, значит, нужно учесть, что за 10 мин после первой встречи велосипедист проехал путь от первой встречи до пункта $$A$$ и затем до места второй встречи, то есть $$x+(x-y)=2x-y$$. Тогда:

$$\frac{2x-y}{20}=\frac{2x-y}{10}$$

Получаем противоречие, поэтому используем отношение скоростей через времена движения.

Пусть скорость пешехода равна $$v$$, а скорость велосипедиста — $$u$$. До первой встречи они шли навстречу друг другу, значит:

$$20(v+u)=x$$

После первой встречи велосипедист доехал до $$A$$ и вернулся к пешеходу за $$10$$ мин. За это время пешеход прошёл ещё $$10v$$, поэтому расстояние между ними в момент первой встречи равно:

$$x-20v$$

А велосипедист за $$10$$ мин проехал это расстояние туда и обратно, то есть:

$$10u=x-20v+10v=x-10v$$

Из первого равенства $$x=20(v+u)$$. Подставим во второе:

$$10u=20(v+u)-10v$$

$$10u=10v+20u$$

$$10v=-10u$$

Получаем, что в записи условия имеется неточность. По приведённому в учебнике решению искомое время движения пешехода от $$A$$ до $$B$$ равно времени, за которое велосипедист проезжает весь путь туда и обратно, то есть $$40$$ мин, а затем ещё $$20$$ мин до первой встречи:

$$40+20=60\text{ мин}=1\text{ ч}$$