Упр.833 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) a^2+b^2?2(a+b-1);
2) 2a^2+5b^2?2ab;
3) a^2+b^2?ab+a+b-1;
4) a^2+ab+b^2?0;
5) a^4+b^4?a^3 b+ab^3;
6) (a^2+b^2 )(a^4+b^4 )?(a^3+b^3 )^2.
Два спортсмена бегают по одной замкнутой дорожке; скорость каждого постоянна, и на пробег всей дорожки один тратит на 5 с меньше другого. Если они начнут пробег с общего старта одновременно и в одном направлении, то окажутся рядом через 30 с. Через какое время они встретятся, если побегут одновременно с общей линии старта в противоположных направлениях?

1. $$a^2+b^2\ge 2(a+b-1)$$

   $$a^2+b^2-2a-2b+2\ge 0$$
   $$\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge 0$$
   $$\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge 0$$

   Верно при любых $$a$$ и $$b$$.

2. $$2a^2+5b^2\ge 2ab$$

   $$2a^2-2ab+5b^2\ge 0$$
   $$\left(a^2-2ab+b^2\right)+a^2+4b^2\ge 0$$
   $$\left(a-b\right)^2+a^2+4b^2\ge 0$$

   Верно при любых $$a$$ и $$b$$.

3. $$a^2+b^2\ge ab+a+b-1$$

   $$a^2+b^2-ab-a-b+1\ge 0$$
   $$2a^2+2b^2-2ab-2a-2b+2\ge 0$$
   $$\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge 0$$
   $$\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge 0$$

   Верно при любых $$a$$ и $$b$$.

4. $$a^2+ab+b^2\ge 0$$

   $$a^2+ab+b^2=a^2+\frac12ab+\frac12ab+b^2$$
   $$=\left(a+\frac12b\right)^2+\frac34b^2\ge 0$$

   Верно при любых $$a$$ и $$b$$.

5. $$a^4+b^4\ge a^3b+ab^3$$

   $$a^4+b^4-a^3b-ab^3\ge 0$$
   $$a^3(a-b)-b^3(a-b)\ge 0$$
   $$\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge 0$$
   $$\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge 0$$

   Верно при любых $$a$$ и $$b$$.

6. $$\left(a^2+b^2\right)\left(a^4+b^4\right)\ge \left(a^3+b^3\right)^2$$

   $$a^6+a^2b^4+a^4b^2+b^6\ge a^6+2a^3b^3+b^6$$
   $$a^2b^4+a^4b^2-2a^3b^3\ge 0$$
   $$a^2b^2\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge 0$$
   $$a^2b^2\left(a-b\right)^2\ge 0$$

   Верно при любых $$a$$ и $$b$$.

7. Пусть первый спортсмен пробегает всю дорожку за $$x$$ с, тогда второй — за $$x+5$$ с.

   За $$30$$ с первый пробежит $$\frac{30}{x}$$ круга, а второй — $$\frac{30}{x+5}$$ круга. По условию, первый окажется на один круг впереди:

   $$\frac{30}{x}-\frac{30}{x+5}=1$$
   $$30(x+5)-30x=x(x+5)$$
   $$x^2+5x-150=0$$
   $$x_1=-15,\quad x_2=10$$

   Подходит $$x=10$$, значит, второй спортсмен пробегает дорожку за $$15$$ с.

   При беге в противоположных направлениях их относительная скорость равна

   $$\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$$
   круга в секунду.

   Значит, встретятся через $$6$$ с.

Ответ

1) верно; 2) верно; 3) верно; 4) верно; 5) верно; 6) верно; спортсмены встретятся через $$6$$ с.