Упр.832 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) (x^6+x^4-x^2-1)/(x^3+x^2+x+1);
2) (x^3+x^2-4x-4)/(x^3-3x-2);
3) (x^4-2x^3+x-2)/(x^3-3x^2+3x-2);
4) (x^3+5x^2+7x+3)/(2x^3+5x^2+4x+1);
5) (x^4-16)/(x^4-4x^3+8x^2-16x+16).
Два автомобиля, двигаясь по кольцевой дороге с постоянными скоростями в одном направлении, оказываются рядом через каждые 56 мин. При движении с теми же скоростями в противоположным направлениях автомобили встречаются через каждые 8 мин. За какое время проедет всю кольцевую трассу каждый автомобиль?

1. $$\frac{x^6+x^4-x^2-1}{x^3+x^2+x+1}= \frac{(x^2+1)(x^4-1)}{(x+1)(x^2+1)}= \frac{(x^2+1)(x^2-1)(x^2+1)}{(x+1)(x^2+1)}$$

   $$=\frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x+1}=(x-1)(x^2+1).$$

2. $$\frac{x^3+x^2-4x-4}{x^3-3x-2}= \frac{x^2(x+1)-4(x+1)}{(x+1)(x^2-x-2)}$$

   $$=\frac{(x+1)(x^2-4)}{(x+1)(x-2)(x+1)}= \frac{(x-2)(x+2)}{x+1}=\frac{x+2}{x+1}.$$

3. $$\frac{x^4-2x^3+x-2}{x^3-3x^2+3x-2}= \frac{x^3(x-2)+(x-2)}{(x-2)(x^2-x+1)}$$

   $$=\frac{(x-2)(x^3+1)}{(x-2)(x^2-x+1)}= \frac{(x-2)(x+1)(x^2-x+1)}{(x-2)(x^2-x+1)}=x+1.$$

4. $$\frac{x^3+5x^2+7x+3}{2x^3+5x^2+4x+1}= \frac{(x+1)(x^2+4x+3)}{(x+1)(2x^2+3x+1)}$$

   $$=\frac{(x+1)(x+1)(x+3)}{(x+1)(2x+1)(x+1)}=\frac{x+3}{2x+1}.$$

5. $$\frac{x^4-16}{x^4-4x^3+8x^2-16x+16}= \frac{(x^2-4)(x^2+4)}{(x^2-4x+4)(x^2+4)}$$

   $$=\frac{(x-2)(x+2)(x^2+4)}{(x-2)^2(x^2+4)}=\frac{x+2}{x-2}.$$

6. Пусть скорость первого автомобиля равна $$x$$ м/мин, а второго — $$y$$ м/мин. Тогда длина кольцевой трассы равна $$1$$.

   При движении в одном направлении автомобили сближаются со скоростью $$x-y$$, и через $$56$$ мин они оказываются рядом снова:
   $$56(x-y)=1.$$

   При движении в противоположных направлениях их относительная скорость равна $$x+y$$, поэтому
   $$8(x+y)=1.$$

   Решим систему:
   $$ \begin{cases} x-y=\frac{1}{56},\\ x+y=\frac{1}{8}. \end{cases} $$

   Складываем уравнения:
   $$ 2x=\frac{1}{56}+\frac{1}{8}=\frac{1}{56}+\frac{7}{56}=\frac{8}{56}=\frac{1}{7}, $$
   значит,
   $$x=\frac{1}{14}.$$

   Тогда
   $$ y=\frac{1}{8}-\frac{1}{14}=\frac{7-4}{56}=\frac{3}{56}. $$

   Время прохождения всей трассы:
   $$ t_1=\frac{1}{x}=14 \text{ мин}, \qquad t_2=\frac{1}{y}=\frac{56}{3}\text{ мин}=18\frac{2}{3}\text{ мин}=18\text{ мин }40\text{ с}. $$

Ответ

1) $$(x-1)(x^2+1)$$;
2) $$\frac{x+2}{x+1}$$;
3) $$x+1$$;
4) $$\frac{x+3}{2x+1}$$;
5) $$\frac{x+2}{x-2}$$;
автомобили проедут трассу за $$14$$ мин и $$18$$ мин $$40$$ с.