Упр.831 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Разложить многочлен x^5 +x+1 на два множителя с целыми коэффициентами. Пассажир метро спускается вниз по движущемуся эскалатору за 24 с. Если пассажир идет с той же скоростью, но по неподвижному эскалатору, то он спускается за 42 с. За сколько секунд он спустится, стоя на ступеньке движущегося эскалатора?

Подробный ответ

Разложим многочлен на множители:

$$ x^5+x+1=x^5+x^4-x^4+x^3-x^3+x^2-x^2+x+1 $$
$$ = x^5+x^4+x^3+x^2+x+1-(x^4+x^3+x^2) $$
$$ = x^3(x^2+x+1)+(x^2+x+1)-x^2(x^2+x+1) $$
$$ = (x^2+x+1)(x^3+1-x^2) $$
$$ = (x^2+x+1)(x^3-x^2+1). $$

Пусть скорость пассажира равна $$x$$ м/с, скорость эскалатора — $$y$$ м/с, длина эскалатора — $$z$$ м.

Тогда по условию:

$$ \frac{z}{x}=42,\qquad \frac{z}{x+y}=24. $$

Из первого равенства:

$$ z=42x. $$

Подставим во второе:

$$ \frac{42x}{x+y}=24 $$
$$ 42x=24(x+y) $$
$$ 42x=24x+24y $$
$$ 18x=24y $$
$$ y=\frac{3}{4}x. $$

Если пассажир стоит на ступеньке, его скорость равна скорости эскалатора $$y$$. Тогда время спуска:

$$ \frac{z}{y}=\frac{42x}{\frac{3}{4}x}=42\cdot\frac{4}{3}=56. $$