Упр.830 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
1) x^3-6x^2-x+30;
2) (x^2+x+1)(x^2+x+2)-12;
3) x^4-x^3-7x^2+x+6;
4) (x^2+x+1)(x^2+x+2)-12;
5) (x^2+4x+8)^2+3x(x^2+4x+8)+2x^2.
Найти скорость и длину поезда, зная, что он проходит мимо неподвижного наблюдателя за 7 с и с той же скоростью за 25 с мимо платформы длиной 378 м.
$$x^3-6x^2-x+30=x^3+2x^2-8x^2+32-x-2$$
$$=x^2(x+2)-8(x^2-4)-(x+2)$$
$$=x^2(x+2)-8(x-2)(x+2)-(x+2)$$
$$=(x+2)(x^2-8x+16-1)=(x+2)(x^2-8x+15)$$
$$=(x+2)(x-5)(x-3).$$
Пусть $$t=x^2+x+1$$. Тогда
$$t(t+1)-12=t^2+t-12=(t+4)(t-3).$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$\bigl(x^2+x+1+4\bigr)\bigl(x^2+x+1-3\bigr)=(x^2+x+5)(x^2+x-2).$$
$$x^2+x-2=(x+2)(x-1).$$
Итак,
$$\bigl(x^2+x+1\bigr)\bigl(x^2+x+2\bigr)-12=(x^2+x+5)(x+2)(x-1).$$
$$x^4-x^3-7x^2+x+6=x^4-x^3-7x^2+7x+x-6+12?$$
Удобнее сгруппировать так:
$$x^4-x^3-7x^2+x+6=(x^4-x^3)+( -7x^2+x)+(6).$$
Проверим разложение подбором корней. При $$x=1$$ получаем:
$$1-1-7+1+6=0,$$
значит, $$x-1$$ — множитель. Делим многочлен на $$x-1$$:
$$x^4-x^3-7x^2+x+6=(x-1)(x^3-7x-6).$$
Далее
$$x^3-7x-6=(x+1)(x^2-x-6)=(x+1)(x-3)(x+2).$$
Следовательно,
$$x^4-x^3-7x^2+x+6=(x-1)(x+1)(x+2)(x-3).$$
Пусть $$t=x^2+4x+8$$. Тогда
$$t^2+3xt+2x^2=(t+2x)(t+x).$$
Подставим $$t$$:
$$\bigl(x^2+4x+8+2x\bigr)\bigl(x^2+4x+8+x\bigr)=(x^2+6x+8)(x^2+5x+8).$$
Разложим первый множитель:
$$x^2+6x+8=(x+2)(x+4).$$
Итак,
$$\bigl(x^2+4x+8\bigr)^2+3x\bigl(x^2+4x+8\bigr)+2x^2=(x+2)(x+4)(x^2+5x+8).$$
Пусть скорость поезда равна $$x$$ м/с, а длина поезда — $$y$$ м.
Тогда по условию:
$$7x=y,$$
$$25x=378+y.$$
Подставим $$y=7x$$ во второе уравнение:
$$25x=378+7x$$
$$18x=378$$
$$x=21.$$
Тогда
$$y=7\cdot 21=147.$$
Ответ
1) $$\left(x+2\right)\left(x-5\right)\left(x-3\right);$$ 2) $$\left(x^2+x+5\right)\left(x+2\right)\left(x-1\right);$$ 3) $$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x-3\right);$$ 4) $$\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x^2+5x+8\right);$$ 5) скорость поезда $$21$$ м/с, длина поезда $$147$$ м.
