Упр.83 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) 2x/(4x^2-y^2 ) — 1/(2x+y) — y/(4x^2-y^2 ) при x=0,37; y=-1,4;
2) (x^2-1)/x · (1/(x-1) — 1/(1+x) + 1) при x=1/2.
Доказать, что:
1) 4x^2+1?4x при любом x;
2) a+1/a?2 при a>0;
3) a/b+b/a?2,если ab>0;
4) 1/a?1/b,если a?b и ab>0;
5) 1/a?1/b,если a?b и ab<0; 6) a^2+b^2?1/2,если a+b=1.

1. $$\frac{2x}{4x^2-y^2}-\frac{1}{2x+y}-\frac{y}{4x^2-y^2}= \frac{2x}{(2x-y)(2x+y)}-\frac{1}{2x+y}-\frac{y}{(2x-y)(2x+y)}$$

   $$= \frac{2x-(2x-y)-y}{(2x-y)(2x+y)}= \frac{2x-2x+y-y}{(2x-y)(2x+y)}=0.$$

   Значение выражения не зависит от значений переменных, если $$4x^2-y^2\ne 0$$.

   При $$x=0{,}37$$, $$y=-1{,}4$$:
   $$4x^2-y^2=4\cdot 0{,}37^2-(-1{,}4)^2=4\cdot 0{,}1369-1{,}96=0{,}5476-1{,}96\ne 0.$$

   Следовательно, значение выражения равно $$0$$.

2. $$\frac{x^2-1}{x}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{1+x}+1\right)$$

   Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:
   $$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{1+x}+1= \frac{(1+x)-(x-1)+(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}.$$

   Тогда
   $$\frac{(1+x)-(x-1)+(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} =\frac{1+x-x+1+x^2-1}{x^2-1} =\frac{x^2+1}{x^2-1}.$$

   Получаем:
   $$\frac{x^2-1}{x}\cdot \frac{x^2+1}{x^2-1}=\frac{x^2+1}{x}.$$

   При $$x=\frac12$$:
   $$\frac{x^2+1}{x}=\frac{\left(\frac12\right)^2+1}{\frac12} =\frac{\frac14+1}{\frac12} =\frac54\cdot 2=\frac52=2{,}5.$$

3. $$4x^2+1\ge 4x$$

   $$4x^2-4x+1\ge 0$$
   $$\left(2x-1\right)^2\ge 0,$$
   что верно при любом $$x$$.

4. $$a+\frac1a\ge 2,\quad a>0$$

   $$a+\frac1a-2\ge 0$$
   $$\frac{a^2-2a+1}{a}\ge 0$$
   $$\frac{(a-1)^2}{a}\ge 0.$$

   Так как $$a>0$$ и $$\left(a-1\right)^2\ge 0$$, то
   $$a+\frac1a\ge 2.$$

5. $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2,\quad ab>0$$

   $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge 0$$
   $$\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}\ge 0$$
   $$\frac{(a-b)^2}{ab}\ge 0.$$

   Так как $$\left(a-b\right)^2\ge 0$$ и $$ab>0$$, то
   $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2.$$

6. $$\frac1a\le \frac1b,\quad a\ge b,\ ab>0$$

   $$\frac1a-\frac1b\le 0$$
   $$\frac{b-a}{ab}\le 0.$$

   Так как $$a\ge b$$, то $$b-a\le 0$$, а $$ab>0$$. Значит,
   $$\frac1a\le \frac1b.$$

7. $$\frac1a\ge \frac1b,\quad a\ge b,\ ab<0$$

   $$\frac1a-\frac1b\ge 0$$
   $$\frac{b-a}{ab}\ge 0.$$

   Так как $$a\ge b$$, то $$b-a\le 0$$, а $$ab<0$$. Следовательно,
   $$\frac1a\ge \frac1b.$$

8. $$a^2+b^2\ge \frac12,\quad a+b=1$$

   Пусть $$a=1-b$$. Тогда
   $$a^2+b^2=(1-b)^2+b^2=1-2b+2b^2.$$

   Рассмотрим разность:
   $$a^2+b^2-\frac12=1-2b+2b^2-\frac12=\frac{4b^2-4b+1}{2}=\frac{(2b-1)^2}{2}\ge 0.$$

   Значит,
   $$a^2+b^2\ge \frac12.$$

Ответ

1) $$0$$; 2) $$2{,}5$$; 3) верно; 4) верно; 5) верно; 6) верно; 7) верно.