Упр.829 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Доказать, что корни уравнения $$x^2+px+q=0$$ действительные и отрицательные только тогда, когда $$p^2-4q\geq 0$$, $$p>0$$, $$q>0$$.
2. Сократить дробь:
   1) $$\frac{a^2+ab-6b^2}{a^2-ab-2b^2}$$;
   2) $$\frac{2a^2+5ab-3b^2}{4a^2+4ab-3b^2}$$;
   3) $$\frac{8a^3+27b^3}{2a^2+ab-3b^2}$$.

Пусть уравнение $$x^2+px+q=0$$ имеет корни $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.$$

Чтобы корни были действительными, необходимо и достаточно, чтобы

$$D=p^2-4q\ge 0.$$

Чтобы оба корня были отрицательными, нужно и достаточно, чтобы их сумма была отрицательной, а произведение положительным:

$$x_1+x_2<0,\qquad x_1x_2>0.$$

С учётом формул Виета получаем

$$-p<0,\qquad q>0,$$

то есть

$$p>0,\qquad q>0.$$

Итак, корни уравнения $$x^2+px+q=0$$ действительные и отрицательные тогда и только тогда, когда

$$p^2-4q\ge 0,\qquad p>0,\qquad q>0.$$

Сократим дроби.

1. $$\frac{a^2+ab-6b^2}{a^2-ab-2b^2} = \frac{a^2+3ab-2ab-6b^2}{a^2-2ab+ab-2b^2} = \frac{a(a+3b)-2b(a+3b)}{a(a-2b)+b(a-2b)}$$

   $$= \frac{(a+3b)(a-2b)}{(a-2b)(a+b)} = \frac{a+3b}{a+b}.$$

2. $$\frac{2a^2+5ab-3b^2}{4a^2+4ab-3b^2} = \frac{2a^2+6ab-ab-3b^2}{4a^2+6ab-2ab-3b^2} = \frac{2a(a+3b)-b(a+3b)}{2a(2a+3b)-b(2a+3b)}$$

   $$= \frac{(a+3b)(2a-b)}{(2a+3b)(2a-b)} = \frac{a+3b}{2a+3b}.$$

3. $$\frac{8a^3+27b^3}{2a^2+ab-3b^2} = \frac{(2a+3b)(4a^2-6ab+9b^2)}{2a^2+ab-3b^2}$$

   $$2a^2+ab-3b^2=2a^2+3ab-2ab-3b^2=a(2a+3b)-b(2a+3b)=(2a+3b)(a-b).$$

   Тогда

   $$\frac{8a^3+27b^3}{2a^2+ab-3b^2} = \frac{(2a+3b)(4a^2-6ab+9b^2)}{(2a+3b)(a-b)} = \frac{4a^2-6ab+9b^2}{a-b}.$$

Ответ

$$p^2-4q\ge 0,\quad p>0,\quad q>0;$$

1) $$\frac{a+3b}{a+b}$$; 2) $$\frac{a+3b}{2a+3b}$$; 3) $$\frac{4a^2-6ab+9b^2}{a-b}$$.