Упр.828 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) a^4-2a^2-3;
2) a^4-5a^2+4.

1) Рассмотрим уравнение $$ (r-4)x^2-2(r-3)x+r=0. $$

Если $$r=4,$$ то уравнение становится линейным:

$$-2(4-3)x+4=0,$$

$$-2x+4=0,$$

$$x=2,$$

то есть корень положительный.

Если $$r\ne 4,$$ то уравнение квадратное. Чтобы оба корня были положительными, нужно, чтобы выполнялись условия:

$$D\ge 0,\quad x_1+x_2>0,\quad x_1x_2>0.$$

Найдём дискриминант:

$$ D=[-2(r-3)]^2-4(r-4)r =4(r-3)^2-4r(r-4) =36-8r. $$

Тогда

$$36-8r\ge 0,$$

$$r\le \frac{9}{2}.$$

По формулам Виета:

$$x_1+x_2=\frac{2(r-3)}{r-4},\qquad x_1x_2=\frac{r}{r-4}.$$

Требуем:

$$\frac{r}{r-4}>0,\qquad \frac{r-3}{r-4}>0.$$

Решая эти неравенства, получаем:

$$r\in(-\infty;0)\cup(4;+\infty),$$

и с учётом условия $$r\le \frac{9}{2}$$ имеем

$$r\in(-\infty;0)\cup\left(4;\frac{9}{2}\right].$$

При $$r=4$$ корень тоже положительный, значит этот случай нужно добавить.

Итак,

$$r\in(-\infty;0)\cup\left[4;\frac{9}{2}\right].$$

2) Разложим многочлен на множители.

$$a^4-2a^2-3=(a^2-3)(a^2+1)=(a-\sqrt3)(a+\sqrt3)(a^2+1).$$

3)

$$a^4-5a^2+4=(a^2-4)(a^2-1)=(a-2)(a+2)(a-1)(a+1).$$

Ответ

1) $$r\in(-\infty;0)\cup\left[4;\frac{9}{2}\right].$$

2) $$a^4-2a^2-3=(a^2-3)(a^2+1)=(a-\sqrt3)(a+\sqrt3)(a^2+1).$$

3) $$a^4-5a^2+4=(a^2-4)(a^2-1)=(a-2)(a+2)(a-1)(a+1).$$