Упр.827 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Пусть a, b, c — различные числа, причем c?0. Доказать, что если уравнения x^2+ax+bc=0 и x^2+bx+ca=0 имеют ровно один общий корень, то другие корни этих уравнений являются корнями уравнения x^2+cx+ab=0. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v_0=6 м/с. Определить, через сколько секунд после начала движения тело достигает наибольшей высоты, если высоту можно найти по формуле h=v_0 t-1/2 gt^2 (ускорение свободного падения считать равным 10 м/с^2 ).

Обозначим корни уравнений

$$x^2+ax+bc=0$$

и

$$x^2+bx+ca=0$$

через $$x_1$$ и $$x_2$$, а общий корень — через $$c$$.

Так как уравнения имеют общий корень, подставим $$x=c$$ в оба уравнения:

$$c^2+ac+bc=0,$$

$$c^2+bc+ca=0.$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$ac-bc+bc-ca=0,$$

$$ (a-b)(c-c)=0.$$

Значит, общий корень действительно равен $$c$$. Тогда из первого уравнения:

$$c^2+ac+bc=0,$$

$$c(c+a+b)=0.$$

Так как $$c\neq 0$$, получаем

$$a+b+c=0.$$

По теореме Виета для первого уравнения:

$$x_1x_2=bc.$$

Так как один корень равен $$c$$, то второй корень:

$$x_2=\frac{bc}{c}=b.$$

Для второго уравнения по теореме Виета:

$$x_1x_3=ca,$$

откуда второй корень равен

$$x_3=\frac{ca}{c}=a.$$

Осталось проверить, что числа $$a$$ и $$b$$ являются корнями уравнения

$$x^2+cx+ab=0.$$

Подставим $$x=a$$:

$$a^2+ca+ab=a(a+b+c)=0.$$

Подставим $$x=b$$:

$$b^2+cb+ab=b(a+b+c)=0.$$

Следовательно, числа $$a$$ и $$b$$ действительно являются корнями уравнения $$x^2+cx+ab=0$$.

Ответ

Другими корнями данных уравнений являются числа $$a$$ и $$b$$, и они являются корнями уравнения $$x^2+cx+ab=0$$.

Для задачи о движении тела:

$$h=6t-\frac{1}{2}\cdot 10t^2=-5t^2+6t.$$

Это парабола, ветви которой направлены вниз, значит, наибольшая высота достигается в вершине:

$$t=\frac{-6}{2\cdot(-5)}=0{,}6.$$

Ответ: $$0{,}6$$ с.