Упр.826 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Найти все значения $$a$$, при которых уравнения $$x^2+ax+1=0$$ и $$x^2+x+a=0$$ имеют хотя бы один общий действительный корень.
2. Найти коэффициенты $$a$$, $$b$$, $$c$$ квадратичной функции $$y=ax^2+bx+c$$, если она при $$x=1$$ принимает наибольшее значение, равное 3, а $$y(0)=0$$.

1) Пусть у уравнений

$$x^2+ax+1=0 \quad \text{и} \quad x^2+x+a=0$$

есть общий действительный корень $$x$$. Тогда он удовлетворяет обоим уравнениям, значит, можно приравнять их левые части:

$$x^2+ax+1=x^2+x+a$$

$$ax-x-a+1=0$$

$$x(a-1)-(a-1)=0$$

$$(a-1)(x-1)=0$$

Отсюда возможны два случая:

1. $$a=1$$. Тогда оба уравнения совпадают:

$$x^2+x+1=0$$

Дискриминант:

$$D=1-4=-3<0$$

Действительных корней нет, значит, этот случай не подходит.

2. $$x=1$$. Подставим в первое уравнение:

$$1^2+a\cdot 1+1=0$$

$$a+2=0$$

$$a=-2$$

Проверка во втором уравнении:

$$1^2+1+a=0 \Rightarrow 2+a=0 \Rightarrow a=-2$$

Значит, при $$a=-2$$ уравнения имеют общий действительный корень $$x=1$$.

2) Рассмотрим функцию $$y=ax^2+bx+c$$. По условию она при $$x=1$$ принимает наибольшее значение, равное $$3$$, а $$y(0)=0$$.

Так как максимум достигается в точке $$x=1$$, вершина параболы имеет координаты $$(1;3)$$, а ветви направлены вниз.

Из условия $$y(0)=0$$ получаем:

$$c=0$$

Значит,

$$y=ax^2+bx$$

Координата вершины по формуле:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=1$$

откуда

$$b=-2a$$

Так как в вершине $$y(1)=3$$, имеем:

$$a+b=3$$

Подставим $$b=-2a$$:

$$a-2a=3$$

$$-a=3$$

$$a=-3$$

Тогда

$$b=-2\cdot(-3)=6$$

и

$$c=0$$

Ответ

1) $$a=-2$$.

2) $$a=-3,\ b=6,\ c=0$$.