Упр.825 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что если r<0, то квадратное уравнение x^2-2(r-1)x+2r+1=0 имеет действительные корни. При каких значениях r (r<0) оба корня этого уравнения отрицательны? Квадратичная функция y=-x^2+bx+c принимает при x=1 наибольшее значение, равное -4. Найти y(-1).

Рассмотрим уравнение

$$x^2-2(r-1)x+2r+1=0,\quad r<0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=[-2(r-1)]^2-4(2r+1)=4(r-1)^2-8r-4.$$

$$D=4(r^2-2r+1)-8r-4=4r^2-16r=4r(r-4).$$

Так как $$r<0,$$ то одновременно $$r<0$$ и $$r-4<0,$$ значит, $$r(r-4)>0.$$ Следовательно,

$$D>0,$$

то есть при всех $$r<0$$ уравнение имеет два действительных корня.

Чтобы оба корня были отрицательными, по теореме Виета нужно, чтобы

$$x_1+x_2=2(r-1)<0,$$

$$x_1x_2=2r+1>0.$$

Из первого неравенства получаем $$r<1,$$ из второго — $$r>-\frac12.$$ С учётом условия $$r<0$$ имеем

$$-\frac12<r<0.$$

Теперь рассмотрим функцию

$$y=-x^2+bx+c.$$

Её вершина имеет абсциссу

$$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{b}{2\cdot(-1)}=\frac{b}{2}.$$

Так как при $$x=1$$ функция принимает наибольшее значение $$-4,$$ то вершина параболы — точка $$ (1;-4). $$ Тогда

$$\frac{b}{2}=1,\quad b=2.$$

Подставим точку $$ (1;-4) $$ в уравнение функции:

$$-1^2+2\cdot1+c=-4,$$

$$-1+2+c=-4,$$

$$c=-5.$$

Тогда

$$y(-1)=-(-1)^2+2\cdot(-1)-5=-1-2-5=-8.$$

Ответ

При всех $$r<0$$ уравнение имеет действительные корни; оба корня отрицательны при $$-\frac12<r<0.$$ Для функции $$y(-1)=-8.$$