Упр.824 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Каким условиям удовлетворяют числа a и b, если биквадратное уравнение x^4-(a+b) x^2+ab=0 имеет четыре различных действительных корня? Квадратичная функция y=x^2+px+q принимает при x=1 наименьшее значение, равное -4. Найти y(0).

Подробный ответ

1) Рассмотрим биквадратное уравнение как квадратное относительно $$x^2$$:

$$x^4-(a+b)x^2+ab=0,$$

пусть $$y=x^2$$. Тогда получаем

$$y^2-(a+b)y+ab=0.$$

Чтобы исходное уравнение имело четыре различных действительных корня, квадратное уравнение по $$y$$ должно иметь два различных положительных корня $$a$$ и $$b$$, причём $$a \ne b$$. Значит,

$$a>0,\quad b>0,\quad a\ne b.$$

2) Для функции $$y=x^2+px+q$$ известно, что при $$x=1$$ она принимает наименьшее значение $$-4$$. Значит, вершина параболы имеет координаты $$\left(1,-4\right)$$.

Абсцисса вершины:

$$-\frac{p}{2}=1,$$

откуда

$$p=-2.$$

Подставим точку $$\left(1,-4\right)$$ в формулу функции:

$$1^2+1\cdot p+q=-4,$$

$$1-2+q=-4,$$

$$q=-3.$$

Тогда

$$y(0)=0^2+0\cdot p+q=-3.$$