Упр.823 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что если квадратное уравнение x^2+px+q=0, где p и q — целые числа, имеет рациональные корни, то эти корни — целые числа. Доказать, что если коэффициенты квадратных уравнений x^2+p_1 x+q_1=0 и x^2+p_2 x+q_2=0 связаны равенством p_1 p_2=2(q_1+q_2 ), то по крайней мере одно из этих уравнений имеет действительные корни.
1) Пусть уравнение $$x^2+px+q=0$$ имеет рациональный корень $$x=\frac{a}{b}$$, где $$a$$ и $$b$$ — целые числа, $$b\neq 0$$, а дробь $$\frac{a}{b}$$ несократима.
Подставим его в уравнение:
$$\left(\frac{a}{b}\right)^2+p\frac{a}{b}+q=0.$$
Умножим на $$b^2$$:
$$a^2+pab+qb^2=0.$$
Тогда
$$a^2=-b(ap+qb).$$
Правая часть делится на $$b$$, значит и $$a^2$$ делится на $$b$$. Но дробь $$\frac{a}{b}$$ несократима, следовательно, $$b=1$$. Значит, рациональный корень является целым числом.
2) Рассмотрим уравнения
$$x^2+p_1x+q_1=0 \quad \text{и} \quad x^2+p_2x+q_2=0,$$
для которых выполнено
$$p_1p_2=2(q_1+q_2).$$
Предположим противное: оба уравнения не имеют действительных корней. Тогда их дискриминанты отрицательны:
$$D_1=p_1^2-4q_1<0,\qquad D_2=p_2^2-4q_2<0.$$
Отсюда
$$p_1^2<4q_1,\qquad p_2^2<4q_2.$$
Перемножим неравенства:
$$p_1^2p_2^2<16q_1q_2,$$
то есть
$$|p_1p_2|<4\sqrt{q_1q_2}.$$
С другой стороны, из условия
$$p_1p_2=2(q_1+q_2).$$
Тогда
$$2(q_1+q_2)<4\sqrt{q_1q_2}.$$
Делим на $$2$$:
$$q_1+q_2<2\sqrt{q_1q_2}.$$
Переносим всё в одну сторону:
$$q_1-2\sqrt{q_1q_2}+q_2<0,$$
то есть
$$\left(\sqrt{q_1}-\sqrt{q_2}\right)^2<0,$$
что невозможно. Противоречие означает, что предположение неверно. Следовательно, хотя бы одно из данных уравнений имеет действительные корни.
Ответ
1) Любой рациональный корень уравнения $$x^2+px+q=0$$ при целых $$p$$ и $$q$$ является целым числом.
2) По крайней мере одно из уравнений $$x^2+p_1x+q_1=0$$ и $$x^2+p_2x+q_2=0$$ имеет действительные корни.
