Упр.822 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Доказать, что если уравнение $$x^2+px+q=0$$ имеет действительные корни, то уравнение $$x^2+\left(r+\frac{1}{r}\right)px+q\left(r-\frac{1}{r}\right)^2=0$$ также имеет действительные корни при любом $$r\neq 0$$.
Найти все такие значения $$r$$, при которых квадратное уравнение $$x^2+(r-1)x-2(r-1)=0$$ имеет действительные корни $$x_1$$ и $$x_2$$, удовлетворяющие условию $$|x_1-x_2|=3$$.

Подробный ответ

1) Если уравнение $$x^2+px+q=0$$ имеет действительные корни, то его дискриминант неотрицателен:

$$D=p^2-4q\ge 0.$$

Рассмотрим уравнение

$$x^2+\left(r+\frac1r\right)px+q\left(r-\frac1r\right)^2=0,\qquad r\ne 0.$$

Найдём его дискриминант:

$$\begin{aligned} D&=\left(r+\frac1r\right)^2p^2-4q\left(r-\frac1r\right)^2 \\ &=\left(r^2+2+\frac1{r^2}\right)p^2-4q\left(r^2-2+\frac1{r^2}\right) \\ &=\left(r^2+\frac1{r^2}\right)p^2+2p^2-4qr^2+8q-\frac{4q}{r^2} \\ &=\left(r^2+\frac1{r^2}\right)(p^2-4q)+2(p^2+4q). \end{aligned}$$

Так как $$r\ne 0,$$ то $$r^2+\frac1{r^2}>0.$$ Кроме того, $$p^2-4q\ge 0,$$ а значит

$$D\ge 2(p^2+4q).$$

Следовательно, второе уравнение также имеет действительные корни.

2) Теперь решим уравнение

$$x^2+(r-1)x-2(r-1)=0$$

при условии $$|x_1-x_2|=3.$$

Для квадратного уравнения разность корней равна

$$|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{D}}{|a|}.$$

Здесь $$a=1,$$ а дискриминант:

$$D=(r-1)^2-4\cdot 1\cdot(-2(r-1))=(r-1)^2+8(r-1)=r^2+6r-7.$$

Тогда

$$|x_1-x_2|=\sqrt{r^2+6r-7}.$$