Упр.821 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) 1/x_1 +1/x_2 ;
2) x_1/x_2 +x_2/x_1 ;
3) x_1^4 x_2+x_2^4 x_1;
4) x_1^4+x_2^4.

1) Рассмотрим квадратное уравнение

$$a^2x^2+(b^2+a^2-c^2)x+b^2=0.$$

Его дискриминант равен

$$ D=(b^2+a^2-c^2)^2-4a^2b^2. $$

Разложим на множители:

$$ D=(a^2+b^2-c^2-2ab)(a^2+b^2-c^2+2ab) $$

$$ =((a-b)^2-c^2)\,((a+b)^2-c^2). $$

По условию $$ (a+b)^2>c^2 $$ и $$ (a-b)^2<c^2 $$, значит

$$((a-b)^2-c^2)<0,\qquad ((a+b)^2-c^2)>0,$$

следовательно, $$D<0$$. Значит, уравнение не имеет действительных корней.

2) Для уравнения $$2x^2+7x-8=0$$ по теореме Виета:

$$x_1+x_2=-\frac{7}{2},\qquad x_1x_2=-4.$$

1. Найдём

$$ \frac1{x_1}+\frac1{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2} =\frac{-\frac72}{-4}=\frac78. $$

2. Найдём

$$ \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1} =\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2} =\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2} =\frac{\left(-\frac72\right)^2-2(-4)}{-4} =-\frac{81}{16}. $$

3. Найдём

$$ x_1^4x_2+x_2^4x_1=x_1x_2(x_1^3+x_2^3). $$

Так как

$$ x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2), $$

то

$$ x_1^4x_2+x_2^4x_1 =x_1x_2\bigl((x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)\bigr) $$

$$ =-4\left[\left(-\frac72\right)^3-3(-4)\left(-\frac72\right)\right] =\frac{339}{2}. $$

4. Найдём

$$ x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^2-2(x_1x_2)^2. $$

Сначала

$$ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 =\left(-\frac72\right)^2-2(-4)=\frac{81}{4}. $$

Тогда

$$ x_1^4+x_2^4=\left(\frac{81}{4}\right)^2-2\cdot 16 =\frac{6561}{16}-\frac{512}{16} =\frac{6049}{16}. $$

Ответ

1) $$\frac78$$; 2) $$-\frac{81}{16}$$; 3) $$\frac{339}{2}$$; 4) $$\frac{6049}{16}$$.