Упр.821 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Задание учебника 2024 года. Доказать, что если $$\left(a+b\right)^2>c^2$$ и $$\left(a-b\right)^2
Задание учебника 2013 года. Не вычисляя корни $$x_1$$ и $$x_2$$ квадратного уравнения $$2x^2+7x-8=0$$, найти:
1) $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$$;
2) $$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}$$;
3) $$x_1^4x_2+x_2^4x_1$$;
4) $$x_1^4+x_2^4$$.

Подробный ответ

1) Рассмотрим квадратное уравнение

$$a^2x^2+(b^2+a^2-c^2)x+b^2=0.$$

Его дискриминант равен

$$D=(b^2+a^2-c^2)^2-4a^2b^2.$$

Разложим на множители:

$$D=(a^2+b^2-c^2-2ab)(a^2+b^2-c^2+2ab)$$

$$=((a-b)^2-c^2)\,((a+b)^2-c^2).$$

По условию $$(a+b)^2>c^2$$ и $$(a-b)^2<c^2$$, значит

$$((a-b)^2-c^2)<0,\qquad ((a+b)^2-c^2)>0,$$

следовательно, $$D<0$$. Значит, уравнение не имеет действительных корней.

2) Для уравнения $$2x^2+7x-8=0$$ по теореме Виета:

$$x_1+x_2=-\frac{7}{2},\qquad x_1x_2=-4.$$

1. Найдём

$$\frac1{x_1}+\frac1{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2} =\frac{-\frac72}{-4}=\frac78.$$

2. Найдём

$$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1} =\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2} =\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2} =\frac{\left(-\frac72\right)^2-2(-4)}{-4} =-\frac{81}{16}.$$

3. Найдём

$$x_1^4x_2+x_2^4x_1=x_1x_2(x_1^3+x_2^3).$$

Так как

$$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2),$$

то

$$x_1^4x_2+x_2^4x_1 =x_1x_2\bigl((x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)\bigr)$$

$$=-4\left[\left(-\frac72\right)^3-3(-4)\left(-\frac72\right)\right] =\frac{339}{2}.$$

4. Найдём

$$x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^2-2(x_1x_2)^2.$$

Сначала

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 =\left(-\frac72\right)^2-2(-4)=\frac{81}{4}.$$

Тогда