Упр.82 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Решить уравнение:

   1) $$\frac{(1-5x)^2}{48}-\frac{(2x-1)(2x+1)}{8}=\frac{x+0{,}25x^2}{12}$$;

   2) $$\frac{0{,}03-x^2}{9}-\frac{(0{,}1+x)^2}{18}=\frac{(0{,}1-x)(0{,}1+x)}{6}$$;

   3) $$\frac{(3x+4)^2}{36}+\frac{3x(1-x)}{18}=\frac{(x-4)(x+4)}{12}$$.

2. Доказать, что при всех значениях $$x$$ верно неравенство:

   1) $$(x-1)(x+3)\leqslant(x+1)^2$$;

   2) $$(x+2)^2\geqslant(x+1)(x+3)$$.

1. $$\frac{(1-5x)^2}{48}-\frac{(2x-1)(2x+1)}{8}=\frac{x+0{,}25x^2}{12}$$

   Умножим обе части уравнения на $$48$$:
   $$(1-5x)^2-6(4x^2-1)=4(x+0{,}25x^2)$$

   Раскроем скобки:
   $$1-10x+25x^2-24x^2+6=4x+x^2$$
   $$x^2-10x+7=4x+x^2$$
   $$-14x=-7$$
   $$x=\frac{7}{14}=\frac12$$

2. $$\frac{0{,}03-x^2}{9}-\frac{(0{,}1+x)^2}{18}=\frac{(0{,}1-x)(0{,}1+x)}{6}$$

   Умножим обе части на $$18$$:
   $$2(0{,}03-x^2)-(0{,}1+x)^2=3(0{,}01-x^2)$$

   Раскроем скобки:
   $$0{,}06-2x^2-(0{,}01+0{,}2x+x^2)=0{,}03-3x^2$$
   $$0{,}05-3x^2-0{,}2x=0{,}03-3x^2$$
   $$-0{,}2x=-0{,}02$$
   $$x=0{,}1$$

3. $$\frac{(3x+4)^2}{36}+\frac{3x(1-x)}{18}=\frac{(x-4)(x+4)}{12}$$

   Умножим обе части на $$36$$:
   $$(3x+4)^2+6x(1-x)=3(x^2-16)$$

   Раскроем скобки:
   $$9x^2+24x+16+6x-6x^2=3x^2-48$$
   $$3x^2+30x+16=3x^2-48$$
   $$30x=-64$$
   $$x=-\frac{64}{30}=-\frac{32}{15}$$

4. $$(x-1)(x+3)\le (x+1)^2$$

   Преобразуем левую и правую части:
   $$x^2+2x-3\le x^2+2x+1$$
   $$-3\le 1$$
   Это верно при любом $$x$$.

5. $$(x+2)^2\ge (x+1)(x+3)$$

   Преобразуем:
   $$x^2+4x+4\ge x^2+4x+3$$
   $$4\ge 3$$
   Это верно при любом $$x$$.

Ответ

1) $$x=\frac12$$; 2) $$x=0{,}1$$; 3) $$x=-\frac{32}{15}$$; 4) неравенство верно при любом $$x$$; 5) неравенство верно при любом $$x$$.