Упр.82 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) (1-5x)^2/48 — (2x-1)(2x+1)/8 = (x+0,25x^2)/12;
2) (0,03-x^2)/9 — (0,1+x)^2/18 = (0,1-x)(0,1+x)/6;
3) (3x+4)^2/36 + 3x(1-x)/18 = (x-4)(x+4)/12.
Доказать, что при всех значениях x верно неравенство:
1) (x-1)(x+3)?(x+1)^2;
2) (x+2)^2?(x+1)(x+3).

1. $$\frac{(1-5x)^2}{48}-\frac{(2x-1)(2x+1)}{8}=\frac{x+0{,}25x^2}{12}$$

   Умножим обе части уравнения на $$48$$:
   $$ (1-5x)^2-6(4x^2-1)=4(x+0{,}25x^2) $$

   Раскроем скобки:
   $$ 1-10x+25x^2-24x^2+6=4x+x^2 $$
   $$ x^2-10x+7=4x+x^2 $$
   $$ -14x=-7 $$
   $$ x=\frac{7}{14}=\frac12 $$

2. $$\frac{0{,}03-x^2}{9}-\frac{(0{,}1+x)^2}{18}=\frac{(0{,}1-x)(0{,}1+x)}{6}$$

   Умножим обе части на $$18$$:
   $$ 2(0{,}03-x^2)-(0{,}1+x)^2=3(0{,}01-x^2) $$

   Раскроем скобки:
   $$ 0{,}06-2x^2-(0{,}01+0{,}2x+x^2)=0{,}03-3x^2 $$
   $$ 0{,}05-3x^2-0{,}2x=0{,}03-3x^2 $$
   $$ -0{,}2x=-0{,}02 $$
   $$ x=0{,}1 $$

3. $$\frac{(3x+4)^2}{36}+\frac{3x(1-x)}{18}=\frac{(x-4)(x+4)}{12}$$

   Умножим обе части на $$36$$:
   $$ (3x+4)^2+6x(1-x)=3(x^2-16) $$

   Раскроем скобки:
   $$ 9x^2+24x+16+6x-6x^2=3x^2-48 $$
   $$ 3x^2+30x+16=3x^2-48 $$
   $$ 30x=-64 $$
   $$ x=-\frac{64}{30}=-\frac{32}{15} $$

4. $$ (x-1)(x+3)\le (x+1)^2 $$

   Преобразуем левую и правую части:
   $$ x^2+2x-3\le x^2+2x+1 $$
   $$ -3\le 1 $$
   Это верно при любом $$x$$.

5. $$ (x+2)^2\ge (x+1)(x+3) $$

   Преобразуем:
   $$ x^2+4x+4\ge x^2+4x+3 $$
   $$ 4\ge 3 $$
   Это верно при любом $$x$$.

Ответ

1) $$x=\frac12$$; 2) $$x=0{,}1$$; 3) $$x=-\frac{32}{15}$$; 4) неравенство верно при любом $$x$$; 5) неравенство верно при любом $$x$$.