Упр.819 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) равные корни;
2) действительные корни, модули которых равны, а знаки противоположны. Корни x_1 и x_2 квадратного уравнения x^2-2rx-7r^2=0 удовлетворяют условию x_1^2+x_2^2=18. Найти r.

1) Чтобы квадратное уравнение $$x^2+rx+2r-3=0$$ имело равные корни, его дискриминант должен быть равен нулю:

$$D=r^2-4(2r-3)=r^2-8r+12.$$

Решим уравнение:

$$r^2-8r+12=0$$

$$ (r-2)(r-6)=0 $$

$$r=2 \text{ или } r=6.$$

2) Если действительные корни равны по модулю и противоположны по знаку, то

$$x_1=-x_2,$$

значит, сумма корней равна нулю:

$$x_1+x_2=-r=0,$$

откуда

$$r=0.$$

Проверим: при $$r=0$$ уравнение принимает вид

$$x^2-3=0,$$

его корни $$x=\pm \sqrt{3}$$ действительно равны по модулю и противоположны по знаку.

3) Для уравнения $$x^2-2rx-7r^2=0$$ по теореме Виета:

$$x_1+x_2=2r,\qquad x_1x_2=-7r^2.$$

Используем формулу

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$

Тогда

$$18=(2r)^2-2(-7r^2)=4r^2+14r^2=18r^2.$$

Отсюда

$$r^2=1,\qquad r=\pm 1.$$

Но при $$r=\pm 1$$ уравнение имеет действительные корни, и условие выполняется.

Ответ

1) $$r=2,\ 6$$; 2) $$r=0$$; 3) $$r=\pm 1$$.