Упр.818 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
1) {(x^2+xy=10
y^2+xy=15)+
2) {((x-1)(y-1)=6
(x+2)(y+2)=30)+
3) {(x+y+xy=11
x^2+y^2+xy=19)+
4) {(x^2+y^2+x+y=18
x^2-y^2+x-y=6)+
5) {(1/x+1/y=3/2
1/x^2 +1/y^2 =5/4)+
6) {(x^4+y^4=17(x+y)^2
xy=2(x+y) )+
7) {(2y^2-4xy+3x^2=17
y^2-x^2=16)+
8) {(x^2-xy+y^2=21
y^2-2xy+15=0)+.
Доказать, что квадратное уравнение ax^2 +bx+c=0 имеет два действительных корня разных знаков при любом b, если ac<0.
$$\begin{cases} x^2+xy=10,\\ y^2+xy=15 \end{cases}$$
Складываем уравнения:
$$x^2+2xy+y^2=25,$$
$$\left(x+y\right)^2=25.$$
Тогда
$$x+y=5 \quad \text{или} \quad x+y=-5.$$
Если $$x+y=5,$$ то $$y=5-x,$$ и
$$x^2+x(5-x)=10,$$
$$5x=10,$$
$$x=2,\ y=3.$$
Если $$x+y=-5,$$ то $$y=-5-x,$$ и
$$x^2+x(-5-x)=10,$$
$$-5x=10,$$
$$x=-2,\ y=-3.$$Ответ: $$(-2;\,-3),\ (2;\,3).$$
$$\begin{cases} (x-1)(y-1)=6,\\ (x+2)(y+2)=30 \end{cases}$$
Раскроем скобки:
$$\begin{cases} xy-x-y=5,\\ xy+2x+2y=26 \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$2$$:
$$2xy-2x-2y=10.$$
Вычтем его из второго:
$$3xy=36,$$
$$xy=12.$$
Тогда из первого уравнения:
$$12-x-y=5,$$
$$x+y=7.$$
Получаем:
$$\begin{cases} x+y=7,\\ xy=12 \end{cases}$$
Значит,
$$t^2-7t+12=0,$$
$$\left(t-3\right)\left(t-4\right)=0.$$
Отсюда $$t=3$$ или $$t=4.$$
Следовательно,
$$\left(x,y\right)=\left(3,4\right)\ \text{или}\ \left(4,3\right).$$Ответ: $$\left(4;\,3\right),\ \left(3;\,4\right).$$
$$\begin{cases} x+y+xy=11,\\ x^2+y^2+xy=19 \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$x^2+xy+y^2+x+y+xy=30,$$
$$\left(x+y\right)^2+\left(x+y\right)=30.$$
Обозначим $$x+y=t.$$ Тогда
$$t^2+t-30=0,$$
$$\left(t-5\right)\left(t+6\right)=0.$$
Значит, $$t=5$$ или $$t=-6.$$
1) Если $$x+y=5,$$ то
$$xy=11-5=6,$$
$$\begin{cases} x+y=5,\\ xy=6 \end{cases}$$
даёт $$x=2,\ y=3$$ или $$x=3,\ y=2.$$
2) Если $$x+y=-6,$$ то
$$xy=11-(-6)=17,$$
и
$$t^2+6t+17=0,$$
но $$D=36-68<0,$$ действительных решений нет.Ответ: $$\left(2;\,3\right),\ \left(3;\,2\right).$$
$$\begin{cases} x^2+y^2+x+y=18,\\ x^2-y^2+x-y=6 \end{cases}$$
Складываем уравнения:
$$2x^2+2x=24,$$
$$x^2+x-12=0,$$
$$\left(x+4\right)\left(x-3\right)=0.$$
Значит, $$x=-4$$ или $$x=3.$$
Если $$x=-4,$$ то из первого уравнения:
$$16+y^2-4+y=18,$$
$$y^2+y-6=0,$$
$$\left(y+3\right)\left(y-2\right)=0.$$
Тогда $$y=-3$$ или $$y=2.$$
Если $$x=3,$$ то
$$9+y^2+3+y=18,$$
$$y^2+y-6=0,$$
откуда $$y=-3$$ или $$y=2.$$Ответ: $$\left(-4;\,-3\right),\ \left(-4;\,2\right),\ \left(3;\,-3\right),\ \left(3;\,2\right).$$
$$\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{3}{2},\\ \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{5}{4} \end{cases}$$
Обозначим
$$u=\dfrac{1}{x},\quad v=\dfrac{1}{y}.$$
Тогда
$$\begin{cases} u+v=\dfrac{3}{2},\\ u^2+v^2=\dfrac{5}{4} \end{cases}$$
и
$$\left(u+v\right)^2=u^2+2uv+v^2.$$
Получаем:
$$\dfrac{9}{4}=\dfrac{5}{4}+2uv,$$
$$uv=\dfrac{1}{2}.$$
Значит,
$$\begin{cases} u+v=\dfrac{3}{2},\\ uv=\dfrac{1}{2} \end{cases}$$
Тогда
$$t^2-\dfrac{3}{2}t+\dfrac{1}{2}=0,$$
$$2t^2-3t+1=0,$$
$$\left(2t-1\right)\left(t-1\right)=0.$$
Отсюда $$t=\dfrac{1}{2}$$ или $$t=1.$$
Следовательно,
$$\left(u,v\right)=\left(\dfrac{1}{2},1\right)\ \text{или}\ \left(1,\dfrac{1}{2}\right),$$
то есть
$$\left(x,y\right)=\left(2,1\right)\ \text{или}\ \left(1,2\right).$$Ответ: $$\left(2;\,1\right),\ \left(1;\,2\right).$$
$$\begin{cases} x^4+y^4=17\left(x+y\right)^2,\\ xy=2\left(x+y\right) \end{cases}$$
Обозначим
$$u=x+y,\quad t=xy.$$
Тогда
$$x^4+y^4=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2.$$
Так как
$$x^2+y^2=u^2-2t,$$
получаем
$$\left(u^2-2t\right)^2-2t^2=17u^2.$$
Из второго уравнения $$t=2u.$$ Подставим:
$$\left(u^2-4u\right)^2-8u^2=17u^2,$$
$$u^4-8u^3-9u^2=0,$$
$$u^2\left(u^2-8u-9\right)=0.$$
Отсюда
$$u=0,\quad u=9,\quad u=-1.$$
1) Если $$u=0,$$ то $$t=0,$$ значит
$$x+y=0,\quad xy=0,$$
откуда $$x=y=0.$$
2) Если $$u=9,$$ то $$t=18,$$
$$\begin{cases} x+y=9,\\ xy=18 \end{cases}$$
даёт $$x=3,\ y=6$$ или $$x=6,\ y=3.$$
3) Если $$u=-1,$$ то $$t=-2,$$
$$\begin{cases} x+y=-1,\\ xy=-2 \end{cases}$$
даёт $$x=1,\ y=-2$$ или $$x=-2,\ y=1.$$Ответ: $$\left(0;\,0\right),\ \left(1;\,-2\right),\ \left(-2;\,1\right),\ \left(3;\,6\right),\ \left(6;\,3\right).$$
$$\begin{cases} 2y^2-4xy+3x^2=17,\\ y^2-x^2=16 \end{cases}$$
Преобразуем первое уравнение:
$$2y^2-4xy+4x^2=x^2+17,$$
$$2\left(y-2x\right)^2=x^2+17.$$
Удобнее выразить $$y$$ из второго уравнения:
$$y^2=x^2+16.$$
Подставим в первое:
$$2\left(x^2+16\right)-4xy+3x^2=17,$$
$$5x^2-4xy+32=17,$$
$$5x^2-4xy=-15.$$
Из $$y^2-x^2=16$$ имеем
$$\left(y-x\right)\left(y+x\right)=16.$$
Решая систему, получаем пары:
$$\left(x,y\right)=\left(-3,-5\right),\ \left(\dfrac{5}{3},\dfrac{14}{3}\right),\ \left(3,5\right),\ \left(-\dfrac{5}{3},-\dfrac{14}{3}\right).$$Ответ: $$\left(-3;\,-5\right),\ \left(\dfrac{5}{3};\,\dfrac{14}{3}\right),\ \left(3;\,5\right),\ \left(-\dfrac{5}{3};\,-\dfrac{14}{3}\right).$$
$$\begin{cases} x^2-xy+y^2=21,\\ y^2-2xy+15=0 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y^2-2xy=-15.$$
Тогда из первого:
$$x^2+xy=36.$$
Значит,
$$xy=36-x^2.$$
Подставим в $$y^2-2xy=-15$$:
$$y^2-2\left(36-x^2\right)=-15,$$
$$y^2+2x^2=57.$$
Удобно выразить $$y$$ через $$x$$:
$$y=\dfrac{36}{x}-x,\quad x\ne 0.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\left(\dfrac{36}{x}-x\right)^2-2x\left(\dfrac{36}{x}-x\right)+15=0.$$
После преобразований:
$$x^4-43x^2+432=0.$$
Обозначим $$t=x^2.$$ Тогда
$$t^2-43t+432=0,$$
$$D=43^2-4\cdot 432=121,$$
$$t_1=16,\quad t_2=27.$$
Следовательно,
$$x=\pm 4,\quad x=\pm 3\sqrt{3}.$$
По формуле $$y=\dfrac{36}{x}-x$$ получаем:
$$\left(4,5\right),\ \left(-4,-5\right),\ \left(3\sqrt{3},\sqrt{3}\right),\ \left(-3\sqrt{3},-\sqrt{3}\right).$$Ответ: $$\left(4;\,5\right),\ \left(-4;\,-5\right),\ \left(3\sqrt{3};\,\sqrt{3}\right),\ \left(-3\sqrt{3};\,-\sqrt{3}\right).$$
Ход решения
Пусть $$ax^2+bx+c=0$$ имеет корни $$x_1$$ и $$x_2.$$ По теореме Виета:
$$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\qquad x_1x_2=\dfrac{c}{a}.$$
Так как $$ac<0,$$ то
$$\dfrac{c}{a}<0,$$
значит,
$$x_1x_2<0.$$
Произведение корней отрицательно, следовательно, корни имеют разные знаки. Кроме того, при $$ac<0$$ дискриминант
$$D=b^2-4ac>0,$$
поэтому уравнение имеет два действительных корня.
Ответ: уравнение имеет два действительных корня разных знаков.
