Упр.817 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
1) x^2-2|x-1|=2;
2) (x+1)|x-2|=2;
3) |(|x-1|-3)|=2;
4) |x^2-9|+|x^2-4|=5;
5) x^2+3x+6/(2-3x-x^2 )=1;
6) 1/(x^2+6x+5)+18/(x^2+6x+10)=18/(x^2+6x+9);
7) x^2+1/x^2 -5x-5/x+8=0;
8) x(x^2-1)(x+2)+1=0.
Найти действительные корни уравнения:
1) x^2-|x|-2=0;
2) x^2-4|x|+3=0;
3) |x^2-x|=2;
4) |x^2+x|=1;
5) |x^2-2|=2;
6) |x^2-26|=10.
$$x^2-2|x-1|=2$$
При $$x\ge 1$$: $$|x-1|=x-1$$, тогда
$$x^2-2(x-1)=2$$
$$x^2-2x=0$$
$$x(x-2)=0$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=2$$. Условию $$x\ge 1$$ подходит только $$x=2$$.
При $$x<1$$: $$|x-1|=1-x$$, тогда
$$x^2-2(1-x)=2$$
$$x^2+2x-4=0$$
$$D=4+16=20$$
$$x=-1\pm \sqrt{5}$$
Из них условию $$x<1$$ подходит только $$x=-1-\sqrt{5}$$.
$$\left(x+1\right)|x-2|=2$$
При $$x\ge 2$$: $$|x-2|=x-2$$, тогда
$$\left(x+1\right)(x-2)=2$$
$$x^2-x-4=0$$
$$D=1+16=17$$
$$x=\frac{1\pm \sqrt{17}}{2}$$
Из них условию $$x\ge 2$$ подходит только $$x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$$.
При $$x<2$$: $$|x-2|=2-x$$, тогда
$$\left(x+1\right)(2-x)=2$$
$$-x^2+x=0$$
$$x(x-1)=0$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=1$$. Оба значения подходят.
$$\left||x-1|-3\right|=2$$
Пусть $$t=|x-1|$$, тогда
$$|t-3|=2$$
$$t-3=2 \quad \text{или} \quad t-3=-2$$
$$t=5 \quad \text{или} \quad t=1$$
1) $$|x-1|=5$$, значит $$x=6$$ или $$x=-4$$;
2) $$|x-1|=1$$, значит $$x=2$$ или $$x=0$$.
$$|x^2-9|+|x^2-4|=5$$
Рассмотрим промежутки по точкам $$x=\pm 2$$ и $$x=\pm 3$$.
Если $$|x|\ge 3$$, то
$$x^2-9+x^2-4=5$$
$$2x^2=18$$
$$x^2=9$$
$$x=\pm 3$$.
Если $$2\le |x|\le 3$$, то
$$9-x^2+x^2-4=5$$
$$0=0$$, значит все такие $$x$$ подходят.
Если $$|x|\le 2$$, то
$$9-x^2+4-x^2=5$$
$$2x^2=8$$
$$x^2=4$$
$$x=\pm 2$$.
Итак, решение:
$$x\in [-3;-2]\cup [2;3]$$
$$x^2+3x+\frac{6}{2-3x-x^2}=1$$
Так как $$2-3x-x^2=-(x^2+3x-2)$$, получаем
$$x^2+3x-\frac{6}{x^2+3x-2}=1$$
Пусть $$y=x^2+3x$$, тогда $$y\ne 2$$ и
$$y-\frac{6}{y-2}=1$$
$$y(y-2)-6=y-2$$
$$y^2-3y-4=0$$
$$\left(y-4\right)\left(y+1\right)=0$$
$$y=4 \quad \text{или} \quad y=-1$$
1) $$x^2+3x=4$$
$$x^2+3x-4=0$$
$$x=-4,\; 1$$
2) $$x^2+3x=-1$$
$$x^2+3x+1=0$$
$$D=9-4=5$$
$$x=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$$
$$\frac{1}{x^2+6x+5}+\frac{18}{x^2+6x+10}=\frac{18}{x^2+6x+9}$$
Пусть $$y=x^2+6x+5$$, тогда $$y\ne 0,-4,-5$$ и
$$\frac{1}{y}+\frac{18}{y+5}=\frac{18}{y+4}$$
После приведения к общему знаменателю:
$$y^2-9y+20=0$$
$$\left(y-4\right)\left(y-5\right)=0$$
$$y=4 \quad \text{или} \quad y=5$$
1) $$x^2+6x+5=4$$
$$x^2+6x+1=0$$
$$D=36-4=32$$
$$x=-3\pm 2\sqrt{2}$$
2) $$x^2+6x+5=5$$
$$x^2+6x=0$$
$$x(x+6)=0$$
$$x=0,\; -6$$
$$x^2+\frac{1}{x^2}-5x-\frac{5}{x}+8=0$$
Пусть $$y=x+\frac{1}{x}$$, тогда
$$x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$$
Получаем
$$y^2-2-5y+8=0$$
$$y^2-5y+6=0$$
$$\left(y-2\right)\left(y-3\right)=0$$
$$y=2 \quad \text{или} \quad y=3$$
1) $$x+\frac{1}{x}=2$$
$$x^2-2x+1=0$$
$$\left(x-1\right)^2=0$$
$$x=1$$
2) $$x+\frac{1}{x}=3$$
$$x^2-3x+1=0$$
$$D=9-4=5$$
$$x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$$
$$x(x^2-1)(x+2)+1=0$$
$$x(x-1)(x+1)(x+2)+1=0$$
$$\left(x^2+x\right)\left(x^2+x-2\right)+1=0$$
Пусть $$y=x^2+x$$, тогда
$$y(y-2)+1=0$$
$$y^2-2y+1=0$$
$$\left(y-1\right)^2=0$$
$$y=1$$
Тогда
$$x^2+x=1$$
$$x^2+x-1=0$$
$$D=1+4=5$$
$$x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$$
$$x^2-|x|-2=0$$
При $$x\ge 0$$: $$x^2-x-2=0$$, откуда $$x=2$$ или $$x=-1$$. Подходит $$x=2$$.
При $$x<0$$: $$x^2+x-2=0$$, откуда $$x=-2$$ или $$x=1$$. Подходит $$x=-2$$.
$$x^2-4|x|+3=0$$
Пусть $$t=|x|$$, тогда $$t\ge 0$$ и
$$t^2-4t+3=0$$
$$\left(t-1\right)\left(t-3\right)=0$$
$$t=1 \quad \text{или} \quad t=3$$
Значит, $$|x|=1$$ или $$|x|=3$$.
$$|x^2-x|=2$$
$$x^2-x=2 \quad \text{или} \quad x^2-x=-2$$
1) $$x^2-x-2=0$$
$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0$$
$$x=2,\; -1$$
2) $$x^2-x+2=0$$
$$D=1-8<0$$, корней нет.
$$|x^2+x|=1$$
$$x^2+x=1 \quad \text{или} \quad x^2+x=-1$$
1) $$x^2+x-1=0$$
$$D=1+4=5$$
$$x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$$
2) $$x^2+x+1=0$$
$$D=1-4<0$$, корней нет.
$$|x^2-2|=2$$
$$x^2-2=2 \quad \text{или} \quad x^2-2=-2$$
1) $$x^2=4$$, значит $$x=\pm 2$$;
2) $$x^2=0$$, значит $$x=0$$.
$$|x^2-26|=10$$
$$x^2-26=10 \quad \text{или} \quad x^2-26=-10$$
1) $$x^2=36$$, значит $$x=\pm 6$$;
2) $$x^2=16$$, значит $$x=\pm 4$$.
Ответ
1) $$x=-1-\sqrt{5},\; 2$$;
2) $$x=0,\; 1,\; \frac{1+\sqrt{17}}{2}$$;
3) $$x=-4,\; 0,\; 2,\; 6$$;
4) $$x\in [-3;-2]\cup [2;3]$$;
5) $$x=-4,\; 1,\; -3\pm 2\sqrt{2},\; -6,\; 0$$;
6) $$x=1,\; \frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$$;
7) $$x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$$;
8) $$x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$$.
1) $$x=\pm 2$$;
2) $$x=\pm 1,\; \pm 3$$;
3) $$x=-1,\; 2$$;
4) $$x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$$;
5) $$x=0,\; \pm 2$$;
6) $$x=\pm 4,\; \pm 6$$.
