Упр.816 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) 4/(1+x^4 )+2/(1+x^2 )+1/(1+x)+1/(1-x);
2) (a^2-bc)/(a+b)(a+c) +(b^2-ac)/(b+c)(a+b) +(c^2-ab)/(a+c)(b+c) ;
3) v(x+2v(x-1)) +v(x-2v(x-1)) , если 1?x<2; 4) (v(m+x)+v(m-x))/(v(m+x)-v(m-x)), если x=2mn/(n^2+1), где m>0, 0

1. $$\frac{4}{1+x^4}+\frac{2}{1+x^2}+\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}$$
   $$=\frac{4}{1+x^4}+\frac{2}{1+x^2}+\frac{1-x+1+x}{(1+x)(1-x)}$$
   $$=\frac{4}{1+x^4}+\frac{2}{1+x^2}+\frac{2}{1-x^2}$$
   $$=\frac{4}{1+x^4}+\frac{2(1-x^2)+2(1+x^2)}{(1+x^2)(1-x^2)}$$
   $$=\frac{4}{1+x^4}+\frac{4}{1-x^4}$$
   $$=\frac{4(1-x^4)+4(1+x^4)}{(1+x^4)(1-x^4)}$$
   $$=\frac{8}{1-x^8}.$$

2. $$\frac{a^2-bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{b^2-ac}{(b+c)(a+b)}+\frac{c^2-ab}{(a+c)(b+c)}$$
   $$=\frac{(a^2-bc)(b+c)+(b^2-ac)(a+c)+(c^2-ab)(a+b)}{(a+b)(a+c)(b+c)}.$$

   Числитель:
   $$a^2b+a^2c-bc^2-b^2c+ab^2+b^2c-a^2c-ac^2+ac^2+bc^2-a^2b-ab^2=0.$$
   Значит,
   $$\frac{0}{(a+b)(a+c)(b+c)}=0.$$

3. При $$1\le x<2$$ имеем $$x-1\ge 0$$, поэтому
   $$\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}$$
   $$=\sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2}$$
   $$=|\sqrt{x-1}+1|+|\sqrt{x-1}-1|.$$
   Так как $$1\le x<2,$$ то $$0\le \sqrt{x-1}<1,$$ следовательно
   $$|\sqrt{x-1}+1|=\sqrt{x-1}+1,\qquad |\sqrt{x-1}-1|=1-\sqrt{x-1}.$$
   Тогда
   $$\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=2.$$

4. Пусть
   $$x=\frac{2mn}{n^2+1},\qquad m>0,\quad 0<n<1.$$
   Тогда
   $$\frac{\sqrt{m+x}+\sqrt{m-x}}{\sqrt{m+x}-\sqrt{m-x}}$$
   $$=\frac{(\sqrt{m+x}+\sqrt{m-x})^2}{(m+x)-(m-x)}$$
   $$=\frac{2m+2\sqrt{m^2-x^2}}{2x}=\frac{m+\sqrt{m^2-x^2}}{x}.$$
   Подставим $$x=\frac{2mn}{n^2+1}:$$
   $$\sqrt{m^2-x^2}=\sqrt{m^2-\left(\frac{2mn}{n^2+1}\right)^2}$$
   $$=\frac{m(n^2-1)}{n^2+1}.$$
   Тогда
   $$\frac{m+\sqrt{m^2-x^2}}{x} =\frac{m+\frac{m(n^2-1)}{n^2+1}}{\frac{2mn}{n^2+1}} =\frac{\frac{2mn^2}{n^2+1}}{\frac{2mn}{n^2+1}}=n.$$

Графики функций

1. $$y=\sqrt{x^2}=|x|.$$
   График — V-образная ломаная с вершиной в точке $$\left(0,0\right).$$

2. $$y=|x-1|.$$
   Это график функции $$y=|x|,$$ сдвинутый вправо на 1. Вершина: $$\left(1,0\right).$$

3. $$y=\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|.$$
   Вершина графика: $$\left(3,0\right).$$

4. $$y=\sqrt{(x-1)^2}+\sqrt{(x+1)^2}=|x-1|+|x+1|.$$
   Поэтому
   $$y= \begin{cases} -2x, & x<-1,\\ 2, & -1\le x\le 1,\\ 2x, & x>1. \end{cases}$$

5. $$y=\sqrt{x^2-4x+4}+|x+2|=\sqrt{(x-2)^2}+|x+2|=|x-2|+|x+2|.$$
   Тогда
   $$y= \begin{cases} -2x, & x<-2,\\ 4, & -2\le x\le 2,\\ 2x, & x>2. \end{cases}$$

Ответ

1) $$\frac{8}{1-x^8}$$; 2) $$0$$; 3) $$2$$; 4) $$n$$.
Графики: $$y=|x|,$$ $$y=|x-1|,$$ $$y=|x-3|,$$ $$y=|x-1|+|x+1|,$$ $$y=|x-2|+|x+2|.$$