Упр.815 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
- Доказать, что для любых положительных чисел $$a$$, $$b$$, $$c$$ справедливо неравенство:
1) $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$$;
2) $$\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\geq a+b+c$$;
3) $$\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}\geq\frac{a+b+c}{3}$$;
4) $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}$$.
Пусть $$x+y=a,\quad xy=b.$$ Тогда:
$$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=a^3-3ab.$$
$$x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2.$$
Так как $$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=a^2-2b,$$ то
$$x^4+y^4=(a^2-2b)^2-2b^2=a^4-4a^2b+2b^2.$$
$$x^5+y^5=(x+y)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4).$$
Используя $$x+y=a$$ и $$xy=b,$$ получаем стандартную формулу:
$$x^5+y^5=(x+y)\bigl((x^2+y^2)^2-3x^2y^2\bigr) =a\bigl((a^2-2b)^2-3b^2\bigr) =a^5-5a^3b+5ab^2.$$
$$x^6+y^6=(x^3+y^3)^2-2x^3y^3.$$
Тогда
$$x^6+y^6=(a^3-3ab)^2-2b^3=a^6-6a^4b+9a^2b^2-2b^3.$$
Докажем неравенства для любых положительных $$a,b,c$$.
1) По неравенству AM-GM:
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3\sqrt[3]{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}}=3.$$
2) Снова по AM-GM:
$$\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge 3\sqrt[3]{\frac{bc}{a}\cdot\frac{ac}{b}\cdot\frac{ab}{c}}=3\sqrt[3]{abc}.$$
Но удобнее сравнить попарно:
$$\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge 2b,\quad \frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge 2a,\quad \frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge 2c.$$
Складывая, получаем
$$2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge 2(a+b+c),$$
значит
$$\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c.$$
3) Рассмотрим разность:
$$3(a^3+b^3+c^3)-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$$
$$=2(a^3+b^3+c^3)-ab(a+b)-ac(a+c)-bc(b+c)$$
$$=(a+b)(a-b)^2+(a+c)(a-c)^2+(b+c)(b-c)^2\ge 0.$$
Следовательно,
$$\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}\ge \frac{a+b+c}{3}.$$
4) Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}-\frac32 = \frac{2a(a+b)(a+c)+2b(b+c)(a+b)+2c(c+a)(b+c)-3(a+b)(b+c)(c+a)}{2(a+b)(b+c)(c+a)}.$$
Числитель упрощается до
$$(a+b)(a-b)^2+(a+c)(a-c)^2+(b+c)(b-c)^2.$$
Значит,
$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac32.$$
Ответ
$$x^3+y^3=a^3-3ab,\quad x^4+y^4=a^4-4a^2b+2b^2,\quad x^5+y^5=a^5-5a^3b+5ab^2,\quad x^6+y^6=a^6-6a^4b+9a^2b^2-2b^3.$$
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3,\quad \frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c,\quad \frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}\ge \frac{a+b+c}{3},\quad \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac32.$$
