Упр.814 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Задание учебника 2024 года. Если $$a\ne b$$ и $$\frac{a^2-bc}{a(1-bc)}=\frac{b^2-ac}{b(1-ac)}$$, то $$a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$. Доказать.
Задание учебника 2013 года. Доказать, что для любых неотрицательных чисел $$a$$ и $$b$$ справедливо неравенство:

1) $$a^2+b^2\leqslant(a+b)^2$$;

2) $$a^3+b^3\leqslant(a+b)^3$$;

3) $$a^3+b^3\geqslant a^2b+ab^2$$;

4) $$(a+b)^3\leqslant4(a^3+b^3)$$.

Подробный ответ

Пусть

$$\frac{a^2-bc}{a(1-bc)}=\frac{b^2-ac}{b(1-ac)}, \qquad a\ne b.$$

Перемножим крест-накрест:

$$b(a^2-bc)(1-ac)=a(b^2-ac)(1-bc).$$

Раскроем скобки:

$$a^2b-a^2abc-b^2c+ab^2c^2=ab^2-ab^2bc-a^2c+abc^2.$$

Перенесём всё в одну сторону и сгруппируем:

$$a^2b-ab^2-b^2c+a^2c= a^2bc-ab^2c-ab c^2+a b^2 c^2.$$

Тогда

$$ab(a-b)+c(a^2-b^2)=abc(a-b)+abc^2(a-b).$$

Вынесем общий множитель $$(a-b)$$:

$$(a-b)(ab+ac+bc)=(a-b)(a^2bc+ab^2c+abc^2).$$

Так как $$a\ne b,$$ можно разделить обе части на $$a-b$$:

$$ab+ac+bc=a^2bc+ab^2c+abc^2.$$

Разделим обе части на $$abc$$:

$$\frac1c+\frac1b+\frac1a=a+b+c.$$

Следовательно,

$$\frac1a+\frac1b+\frac1c=a+b+c,$$

что и требовалось доказать.

Докажем неравенства для любых неотрицательных чисел $$a$$ и $$b$$.

$$a^2+b^2\le (a+b)^2.$$
Действительно,
$$(a+b)^2-a^2-b^2=2ab\ge 0,$$
так как $$a\ge 0$$ и $$b\ge 0$$.
$$a^3+b^3\le (a+b)^3.$$
Имеем:
$$(a+b)^3-a^3-b^3=3a^2b+3ab^2+6?$$
Используем разложение:
$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,$$
поэтому
$$(a+b)^3-a^3-b^3=3ab(a+b)\ge 0.$$
$$a^3+b^3\ge a^2b+ab^2.$$
Преобразуем разность:
$$a^3+b^3-a^2b-ab^2=(a-b)^2(a+b)\ge 0.$$
$$(a+b)^3\le 4(a^3+b^3).$$
Рассмотрим разность:
$$4(a^3+b^3)-(a+b)^3=3a^3-3a^2b-3ab^2+3b^3.$$
Тогда
$$4(a^3+b^3)-(a+b)^3=3(a-b)^2(a+b)\ge 0.$$