Упр.813 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) проходит через точки A (-1;0), B (3;0) и C (0;-6);
2) проходит через точки K (-2;0), L (1;0) и M (0;2).

Преобразуем выражение:

$$ a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a) $$

Раскроем скобки и сгруппируем:

$$ a^2c-a^2b+b^2a-b^2c+c^2b-c^2a $$

$$ =ac(a-c)+b^2(a-c)-b(c^2-a^2) $$

$$ =ac(a-c)+b^2(a-c)-b(c-a)(c+a) $$

$$ =(a-c)(ac+b^2-b(a+c)) $$

$$ =(a-c)(ac+b^2-ab-bc) $$

$$ =(a-c)\bigl(c(a-b)-b(a-b)\bigr) $$

$$ =(a-c)(a-b)(c-b) $$

Так как числа $a$, $b$, $c$ попарно различны, то каждый из множителей
$$a-c,\quad a-b,\quad c-b$$
не равен нулю. Значит, всё выражение не равно нулю.

Найдём коэффициенты квадратичной функции $$y=ax^2+bx+c$$.

1) График проходит через точки $A(-1;0)$, $B(3;0)$, $C(0;-6)$.

Подставим координаты точек в уравнение:

$$ \begin{cases} a(-1)^2+b(-1)+c=0,\\ a\cdot 3^2+b\cdot 3+c=0,\\ c=-6. \end{cases} $$

Получаем:

$$ \begin{cases} a-b+c=0,\\ 9a+3b+c=0,\\ c=-6. \end{cases} $$

Подставим $$c=-6$$:

$$ \begin{cases} a-b-6=0,\\ 9a+3b-6=0. \end{cases} $$

Из первого уравнения $$a-b=6$$, умножим его на $$3$$:

$$ 3a-3b=18. $$

Вычтем это уравнение из второго:

$$ (9a+3b-6)-(3a-3b=18) $$

$$ 6a+6b=24 $$

$$ a=2. $$

Тогда

$$ 2-b=6,\quad b=-4. $$

Итак, $$c=-6$$, $$a=2$$, $$b=-4$$.

2) График проходит через точки $K(-2;0)$, $L(1;0)$, $M(0;2)$.

Подставим координаты точек:

$$ \begin{cases} 4a-2b+c=0,\\ a+b+c=0,\\ c=2. \end{cases} $$

Подставим $$c=2$$:

$$ \begin{cases} 4a-2b=-2,\\ a+b=-2. \end{cases} $$

Умножим второе уравнение на $$2$$:

$$ 2a+2b=-4. $$

Сложим его с первым:

$$ (4a-2b)+(2a+2b)=-2-4 $$

$$ 6a=-6,\quad a=-1. $$

Тогда

$$ -1+b=-2,\quad b=-1. $$

Итак, $$a=-1$$, $$b=-1$$, $$c=2$$.

Ответ

$$ a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a)=(a-c)(a-b)(c-b)\neq 0. $$

1) $$a=2,\ b=-4,\ c=-6.$$

2) $$a=-1,\ b=-1,\ c=2.$$