Упр.813 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Доказать, что выражение $$a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a)$$ не равно нулю, если $$a$$, $$b$$, $$c$$ — попарно не равные между собой числа.
Найти коэффициенты квадратичной функции $$y=ax^2+bx+c$$, если её график:

1) проходит через точки $$A(-1;0)$$, $$B(3;0)$$ и $$C(0;-6)$$;

2) проходит через точки $$K(-2;0)$$, $$L(1;0)$$ и $$M(0;2)$$.

Подробный ответ

Преобразуем выражение:

$$a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a)$$

Раскроем скобки и сгруппируем:

$$a^2c-a^2b+b^2a-b^2c+c^2b-c^2a$$

$$=ac(a-c)+b^2(a-c)-b(c^2-a^2)$$

$$=ac(a-c)+b^2(a-c)-b(c-a)(c+a)$$

$$=(a-c)(ac+b^2-b(a+c))$$

$$=(a-c)(ac+b^2-ab-bc)$$

$$=(a-c)\bigl(c(a-b)-b(a-b)\bigr)$$

$$=(a-c)(a-b)(c-b)$$

Так как числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ попарно различны, то каждый из множителей
$$a-c,\quad a-b,\quad c-b$$
не равен нулю. Значит, всё выражение не равно нулю.

Найдём коэффициенты квадратичной функции $$y=ax^2+bx+c$$.

1) График проходит через точки $$A(-1;0)$$, $$B(3;0)$$, $$C(0;-6)$$.

Подставим координаты точек в уравнение:

$$\begin{cases} a(-1)^2+b(-1)+c=0,\\ a\cdot 3^2+b\cdot 3+c=0,\\ c=-6. \end{cases}$$

Получаем:

$$\begin{cases} a-b+c=0,\\ 9a+3b+c=0,\\ c=-6. \end{cases}$$

Подставим $$c=-6$$:

$$\begin{cases} a-b-6=0,\\ 9a+3b-6=0. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$a-b=6$$, умножим его на $$3$$:

$$3a-3b=18.$$

Вычтем это уравнение из второго:

$$(9a+3b-6)-(3a-3b=18)$$