Упр.812 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что из равенства 1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c) следует равенство 1/a^3 +1/b^3 +1/c^3 =1/(a^3+b^3+c^3 ). Зеркало отражателя телескопа (рефлектора) имеет в осевом сечении вид параболы (рис.75). Написать уравнение этой параболы.

1) Докажем утверждение.

Из условия

$$\frac1a+\frac1b+\frac1c=\frac1{a+b+c}$$

получаем

$$\frac{bc+ac+ab}{abc}=\frac1{a+b+c}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$\bigl(bc+ac+ab\bigr)(a+b+c)=abc.$$

Раскроем скобки и перенесём всё в одну сторону:

$$abc+a^2c+a^2b+b^2c+abc+ab^2+bc^2+ac^2+abc=abc,$$

$$2abc+a^2c+a^2b+b^2c+ab^2+bc^2+ac^2=0.$$

Сгруппируем:

$$a^2(b+c)+a(b^2+2bc+c^2)+bc(b+c)=0,$$

$$a^2(b+c)+a(b+c)^2+bc(b+c)=0,$$

$$ (b+c)\bigl(a^2+a(b+c)+bc\bigr)=0,$$

$$ (b+c)(a+b)(a+c)=0.$$

Значит, хотя бы одно из равенств верно: $$b=-c$$, или $$a=-b$$, или $$a=-c$$.

Проверим, что тогда

$$\frac1{a^3}+\frac1{b^3}+\frac1{c^3}=\frac1{a^3+b^3+c^3}.$$

Например, если $$b=-c$$, то

$$\frac1{a^3}+\frac1{(-c)^3}+\frac1{c^3}=\frac1{a^3+(-c)^3+c^3}.$$

Так как $$(-c)^3=-c^3$$, то обе части равны $$\frac1{a^3}$$. Аналогично проверяются случаи $$a=-b$$ и $$a=-c$$.

Следовательно, из равенства

$$\frac1a+\frac1b+\frac1c=\frac1{a+b+c}$$

действительно следует

$$\frac1{a^3}+\frac1{b^3}+\frac1{c^3}=\frac1{a^3+b^3+c^3}.$$

2) Пусть осевое сечение отражателя — парабола с вершиной в начале координат и осью симметрии вдоль оси $$Oy$$. Тогда её уравнение имеет вид

$$y=ax^2+bx+c.$$

Так как парабола проходит через точку $$ (0,0) $$, то

$$0=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c,$$

$$c=0.$$

Значит,

$$y=ax^2+bx.$$

Парабола проходит через точки $$ (r,h) $$ и $$ (-r,h) $$, поэтому

$$h=ar^2+br,$$

$$h=ar^2-br.$$

Вычтем второе равенство из первого:

$$2br=0,$$

откуда $$b=0$$.

Тогда

$$h=ar^2,$$

$$a=\frac{h}{r^2}.$$

Следовательно, уравнение параболы:

$$y=\frac{h}{r^2}x^2.$$

Ответ

$$\frac1{a^3}+\frac1{b^3}+\frac1{c^3}=\frac1{a^3+b^3+c^3}, \qquad y=\frac{h}{r^2}x^2.$$