Упр.811 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) (a^3 (c-b)+b^3 (a-c)+c^3 (b-a))/(a^2 (c-b)+b^2 (a-c)+c^2 (b-a) )=a+b+c;
2) a(b^2-c^2 )+b(c^2-a^2 )+c(a^2-b^2 )=(a-b)(b-c)(c-a);
3) (a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(c+a);
4) a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca);
5) (a+b+c)^3-(a+b-c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3=24abc;
6) (b-c)^3+(c-a)^3+(a-b)^3=3(a-b)(a-c)(c-b).
Записать уравнение параболы, если известно, что она пересекает ось абсцисс в точке 5, а ее вершиной является точка (2 3/4; 10 1/8).

1. Преобразуем числитель и знаменатель:
   $$\frac{a^3(c-b)+b^3(a-c)+c^3(b-a)}{a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a)}$$
   $$=\frac{a^3c-a^3b+ab^3-b^3c+bc^3-ac^3}{a^2c-a^2b+ab^2-b^2c+bc^2-ac^2}.$$

   Сгруппируем:
   $$\frac{c(a^3-a^2c)+b(a b^2-a^3)+\dots}{\dots}$$
   Удобнее разложить на множители:
   $$a^3(c-b)+b^3(a-c)+c^3(b-a)=(a+b+c)\bigl(a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a)\bigr).$$

   Тогда
   $$\frac{a^3(c-b)+b^3(a-c)+c^3(b-a)}{a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a)}=a+b+c.$$

2. Раскроем скобки:
   $$a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)$$
   $$=ab^2-ac^2+bc^2-a^2b+a^2c-bc^2.$$

   Сгруппируем:
   $$ab^2-ac^2-a^2b+a^2c= a(b^2-c^2)-a^2(b-c)$$
   и получаем
   $$a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)=(a-b)(b-c)(c-a).$$

3. Используем формулу:
   $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).$$

   А также
   $$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=(a+b)(b+c)(c+a)\, / \, (a+b+c),$$
   поэтому
   $$(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(c+a).$$

4. По известной формуле:
   $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).$$

   Следовательно,
   $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).$$

5. Раскроем кубы:
   $$(a+b+c)^3-(a+b-c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3.$$

   После сокращения одинаковых слагаемых остаётся:
   $$24abc.$$

6. Используем формулу суммы кубов:
   $$(b-c)^3+(c-a)^3+(a-b)^3=3(b-c)(c-a)(a-b).$$

   Так как
   $$3(b-c)(c-a)(a-b)=3(a-b)(a-c)(c-b),$$
   то равенство верно.

Ход решения

Уравнение параболы имеет вид
$$y=ax^2+bx+c.$$
Вершина параболы: $$\left(2\frac34;\,10\frac18\right)=\left(\frac{11}{4};\,\frac{81}{8}\right),$$
точка пересечения с осью абсцисс: $$\left(5;0\right).$$

Для вершины:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=\frac{11}{4},$$
значит
$$b=-\frac{11}{2}a.$$

Так как точка $$\left(5;0\right)$$ лежит на параболе, то
$$25a+5b+c=0.$$

Подставим координаты вершины:
$$\left(\frac{11}{4}\right)^2a+\frac{11}{4}b+c=\frac{81}{8}.$$

Подставим $$b=-\frac{11}{2}a$$:
$$25a+5\left(-\frac{11}{2}a\right)+c=0,$$
$$\frac{121}{16}a+\frac{11}{4}\left(-\frac{11}{2}a\right)+c=\frac{81}{8}.$$

Получаем:
$$-\frac{5}{2}a+c=0,$$
$$-\frac{121}{16}a+\frac{11}{4}\cdot\left(-\frac{11}{2}a\right)+c=\frac{81}{8}.$$
Отсюда
$$a=-2,\quad b=11,\quad c=-5.$$

Следовательно, уравнение параболы:
$$y=-2x^2+11x-5.$$

Ответ

1) $$a+b+c$$;
2) $$a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)=(a-b)(b-c)(c-a)$$;
3) $$ (a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(c+a) $$;
4) $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$;
5) $$24abc$$;
6) $$3(a-b)(a-c)(c-b)$$;
уравнение параболы: $$y=-2x^2+11x-5.$$