Упр.810 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) Рассмотрим произведение:

$$1980\cdot1981\cdot1982\cdot1983+1.$$

Положим $$1980=n,$$ тогда

$$1981=n+1,\quad 1982=n+2,\quad 1983=n+3.$$

Тогда

$$n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = n(n+3)(n+1)(n+2)+1.$$

Сгруппируем множители:

$$n(n+3)=n^2+3n,\qquad (n+1)(n+2)=n^2+3n+2.$$

Обозначим $$m=n^2+3n+1.$$ Тогда

$$n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =(m-1)(m+1)+1=m^2.$$

Значит, данное число является квадратом натурального числа:

$$1980\cdot1981\cdot1982\cdot1983+1=(n^2+3n+1)^2.$$

Подставим $$n=1980$$:

$$x=1980^2+3\cdot1980+1=3926341.$$

2) Для параболы $$y=x^2+px+q$$ используем данные о точках пересечения с осью абсцисс.

Если корни равны $$x_1=-\frac12$$ и $$x_2=\frac23,$$ то

$$y=\left(x+\frac12\right)\left(x-\frac23\right).$$

Раскроем скобки:

$$y=x^2-\frac16x-\frac13.$$

Следовательно,

$$p=-\frac16,\qquad q=-\frac13.$$

3) Если парабола касается оси абсцисс в точке $$x=-7,$$ то эта точка — вершина параболы, значит

$$-\frac{p}{2}=-7.$$

Отсюда

$$p=14.$$

Так как точка $$(-7,0)$$ лежит на графике, подставим её в уравнение:

$$(-7)^2+14\cdot(-7)+q=0,$$

$$49-98+q=0,$$

$$q=49.$$

4) Если парабола пересекает ось абсцисс в точке $$x=2,$$ то точка $$(2,0)$$ лежит на графике. Также точка $$(0,-1)$$ лежит на оси ординат, значит

$$q=-1.$$

Подставим $$x=2$$:

$$2^2+2p+q=0,$$

$$4+2p-1=0,$$

$$2p=-3,$$

$$p=-\frac32.$$

Ответ

1) $$x=3926341$$;

2) $$p=-\frac16,\ q=-\frac13$$;

3) $$p=14,\ q=49$$;

4) $$p=-\frac32,\ q=-1$$.