Упр.810 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) пересекает ось абсцисс в точках x=-1/2 и x=2/3;
2) касается оси абсцисс в точке x=-7;
3) пересекает ось абсцисс в точке x=2 и ось ординат в точке y=-1.

1) Рассмотрим произведение:

$$1980\cdot1981\cdot1982\cdot1983+1.$$

Положим $$1980=n,$$ тогда

$$1981=n+1,\quad 1982=n+2,\quad 1983=n+3.$$

Тогда

$$ n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = n(n+3)(n+1)(n+2)+1. $$

Сгруппируем множители:

$$ n(n+3)=n^2+3n,\qquad (n+1)(n+2)=n^2+3n+2. $$

Обозначим $$m=n^2+3n+1.$$ Тогда

$$ n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =(m-1)(m+1)+1=m^2. $$

Значит, данное число является квадратом натурального числа:

$$ 1980\cdot1981\cdot1982\cdot1983+1=(n^2+3n+1)^2. $$

Подставим $$n=1980$$:

$$ x=1980^2+3\cdot1980+1=3926341. $$

2) Для параболы $$y=x^2+px+q$$ используем данные о точках пересечения с осью абсцисс.

Если корни равны $$x_1=-\frac12$$ и $$x_2=\frac23,$$ то

$$ y=\left(x+\frac12\right)\left(x-\frac23\right). $$

Раскроем скобки:

$$ y=x^2-\frac16x-\frac13. $$

Следовательно,

$$p=-\frac16,\qquad q=-\frac13.$$

3) Если парабола касается оси абсцисс в точке $$x=-7,$$ то эта точка — вершина параболы, значит

$$ -\frac{p}{2}=-7. $$

Отсюда

$$p=14.$$

Так как точка $$(-7,0)$$ лежит на графике, подставим её в уравнение:

$$ (-7)^2+14\cdot(-7)+q=0, $$

$$ 49-98+q=0, $$

$$ q=49. $$

4) Если парабола пересекает ось абсцисс в точке $$x=2,$$ то точка $$ (2,0) $$ лежит на графике. Также точка $$ (0,-1) $$ лежит на оси ординат, значит

$$q=-1.$$

Подставим $$x=2$$:

$$ 2^2+2p+q=0, $$

$$ 4+2p-1=0, $$

$$ 2p=-3, $$

$$ p=-\frac32. $$

Ответ

1) $$x=3926341$$;

2) $$p=-\frac16,\ q=-\frac13$$;

3) $$p=14,\ q=49$$;

4) $$p=-\frac32,\ q=-1$$.