Упр.809 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

1) 2/(v5-v3)+5/(v3+2v2)=3/(v8-v5);
2) 4/(v7+v3)-8/(v3-v11)=4/(v11-v7);
3) 1/(1+v2)+1/(v2+v3)+?+1/(v98+v99)=v99-1;
4) 1/a(a+1) +1/(a+1)(a+2) +1/(a+2)(a+3) =3/a(a+3) ;
5) n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2.
Найти коэффициенты p и q квадратного трехчлена x^2 +px+q, если этот трехчлен при x=0 принимает значение, равное -14, а при x=-2 принимает значение -20.

Подробный ответ

$$\frac{2}{\sqrt5-\sqrt3}+\frac{5}{\sqrt3+2\sqrt2}$$
$$=\frac{2(\sqrt5+\sqrt3)}{(\sqrt5-\sqrt3)(\sqrt5+\sqrt3)}+\frac{5(\sqrt3-2\sqrt2)}{(\sqrt3+2\sqrt2)(\sqrt3-2\sqrt2)}$$
$$=\frac{2(\sqrt5+\sqrt3)}{5-3}+\frac{5(\sqrt3-2\sqrt2)}{3-8}$$
$$=\sqrt5+\sqrt3-(\sqrt3-2\sqrt2)=\sqrt5+2\sqrt2.$$
Значит,
$$\frac{2}{\sqrt5-\sqrt3}+\frac{5}{\sqrt3+2\sqrt2}=\frac{3}{\sqrt8-\sqrt5},$$
так как
$$\frac{3}{\sqrt8-\sqrt5}=\frac{3(\sqrt8+\sqrt5)}{8-5}=\sqrt8+\sqrt5=2\sqrt2+\sqrt5.$$
$$\frac{4}{\sqrt7+\sqrt3}-\frac{8}{\sqrt3-\sqrt{11}}$$
$$=\frac{4(\sqrt7-\sqrt3)}{7-3}-\frac{8(\sqrt3+\sqrt{11})}{3-11}$$
$$=\sqrt7-\sqrt3+\sqrt3+\sqrt{11}=\sqrt7+\sqrt{11}.$$
А
$$\frac{4}{\sqrt{11}-\sqrt7}=\frac{4(\sqrt{11}+\sqrt7)}{11-7}=\sqrt{11}+\sqrt7.$$
Следовательно, равенство верно.
$$\frac{1}{1+\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}$$
$$=\frac{1-\sqrt2}{1-2}+\frac{\sqrt2-\sqrt3}{2-3}+\cdots+\frac{\sqrt{98}-\sqrt{99}}{98-99}$$
$$=(\sqrt2-1)+(\sqrt3-\sqrt2)+\cdots+(\sqrt{99}-\sqrt{98})$$
$$=\sqrt{99}-1.$$
$$\frac{1}{a(a+1)}+\frac{1}{(a+1)(a+2)}+\frac{1}{(a+2)(a+3)}$$
$$=\frac{(a+2)(a+3)+a(a+3)+a(a+1)}{a(a+1)(a+2)(a+3)}$$
$$=\frac{a^2+5a+6+a^2+3a+a^2+a}{a(a+1)(a+2)(a+3)}$$
$$=\frac{3a^2+9a+6}{a(a+1)(a+2)(a+3)}$$
$$=\frac{3(a^2+3a+2)}{a(a+1)(a+2)(a+3)}$$
$$=\frac{3(a+1)(a+2)}{a(a+1)(a+2)(a+3)}=\frac{3}{a(a+3)}.$$
$$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2.$$
Действительно,
$$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1$$
$$=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1$$
$$=n^4+6n^3+9n^2+2n^2+6n+1$$
$$=n^4+6n^3+11n^2+6n+1,$$
а
$$ (n^2+3n+1)^2=n^4+6n^3+11n^2+6n+1.$$
Следовательно, равенство верно.
Пусть $$x^2+px+q$$ — искомый трёхчлен. Тогда из условия:
$$0^2+0\cdot p+q=-14,$$
откуда
$$q=-14.$$
Далее при $$x=-2$$:
$$(-2)^2-2p+q=-20,$$
$$4-2p-14=-20,$$
$$-2p=-10,$$
$$p=5.$$