Упр.808 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) (x+2)(x+5)(x-1)(x+4)>0;
2) (x+1)(3x^2+2)(x-2)(x+7)<0; 3) (3x-1)/(3x+1)+(x-3)/(x+3)?2; 4) (1-3x)/(1+3x)+(1+3x)/(3x-1)?12/(1-9x^2 ).

1. Решим уравнение $$x+y=xy$$ при целых $$x$$ и $$y$$.

   $$x+y-xy=0$$
   $$x-yx+y=0$$
   $$x+y(1-x)=0$$
   $$y(1-x)=-x$$
   $$y(x-1)=x$$
   $$y(x-1)-x+1=1$$
   $$y(x-1)-(x-1)=1$$
   $$(x-1)(y-1)=1$$

   Так как $$x$$ и $$y$$ — целые числа, то возможны только случаи:

   $$x-1=1,\ y-1=1 \Rightarrow x=2,\ y=2$$
   $$x-1=-1,\ y-1=-1 \Rightarrow x=0,\ y=0$$

   Ответ: $$(0;0)$$ и $$(2;2)$$.

2. $$ (x+2)(x+5)(x-1)(x+4)>0 $$

   Нули выражения: $$x=-5,\,-4,\,-2,\,1$$.

   Рассматриваем знаки на промежутках, получаем:

   $$(-\infty;-5),\ (-4;-2),\ (1;+\infty)$$

   Ответ: $$(-\infty;-5)\cup(-4;-2)\cup(1;+\infty)$$.

3. $$ (x+1)(3x^2+2)(x-2)(x+7)<0 $$

   Так как $$3x^2+2>0$$ при любых $$x$$, то знак выражения определяется произведением

   $$ (x+1)(x-2)(x+7)<0 $$

   Нули: $$x=-7,\,-1,\,2$$.

   По знакам на промежутках получаем:

   $$(-\infty;-7),\ (-1;2)$$

   Ответ: $$(-\infty;-7)\cup(-1;2)$$.

4. $$ \frac{3x-1}{3x+1}+\frac{x-3}{x+3}\ge 2 $$

   ОДЗ: $$x\ne -\frac13,\ x\ne -3$$.

   $$\frac{3x-1}{3x+1}+\frac{x-3}{x+3}-2\ge 0$$
   $$\frac{(3x-1)(x+3)+(x-3)(3x+1)-2(3x+1)(x+3)}{(3x+1)(x+3)}\ge 0$$
   $$\frac{3x^2+8x-3+3x^2-8x-3-2(3x^2+10x+3)}{(3x+1)(x+3)}\ge 0$$
   $$\frac{-20x-12}{(3x+1)(x+3)}\ge 0$$
   $$\frac{20x+12}{(3x+1)(x+3)}\le 0$$
   $$\frac{5x+3}{(3x+1)(x+3)}\le 0$$

   Критические точки: $$x=-3,\ -\frac35,\ -\frac13$$.

   По знакам на промежутках получаем:

   $$(-\infty;-3)\cup\left[-\frac35;-\frac13\right)$$

   Ответ: $$(-\infty;-3)\cup\left[-\frac35;-\frac13\right)$$.

5. $$ \frac{1-3x}{1+3x}+\frac{1+3x}{3x-1}\ge \frac{12}{1-9x^2} $$

   ОДЗ: $$x\ne -\frac13,\ x\ne \frac13$$.

   $$\frac{1-3x}{1+3x}+\frac{1+3x}{3x-1}-\frac{12}{1-9x^2}\ge 0$$
   $$\frac{(1-3x)^2-(1+3x)^2-12}{1-9x^2}\ge 0$$
   $$\frac{1-6x+9x^2-1-6x-9x^2-12}{1-9x^2}\ge 0$$
   $$\frac{-12x-12}{1-9x^2}\ge 0$$
   $$\frac{x+1}{1-9x^2}\le 0$$

   Критические точки: $$x=-1,\ -\frac13,\ \frac13$$.

   По знакам на промежутках получаем:

   $$[-1;-\frac13)\cup\left(\frac13;+\infty\right)$$

   Ответ: $$[-1;-\frac13)\cup\left(\frac13;+\infty\right)$$.