Упр.808 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Решим уравнение $$x+y=xy$$ при целых $$x$$ и $$y$$.

$$x+y-xy=0$$
$$x-yx+y=0$$
$$x+y(1-x)=0$$
$$y(1-x)=-x$$
$$y(x-1)=x$$
$$y(x-1)-x+1=1$$
$$y(x-1)-(x-1)=1$$
$$(x-1)(y-1)=1$$

Так как $$x$$ и $$y$$ — целые числа, то возможны только случаи:

$$x-1=1,\ y-1=1 \Rightarrow x=2,\ y=2$$
$$x-1=-1,\ y-1=-1 \Rightarrow x=0,\ y=0$$

Ответ: $$(0;0)$$ и $$(2;2)$$.

$$(x+2)(x+5)(x-1)(x+4)>0$$

Нули выражения: $$x=-5,\,-4,\,-2,\,1$$.

Рассматриваем знаки на промежутках, получаем:

$$(-\infty;-5),\ (-4;-2),\ (1;+\infty)$$

Ответ: $$(-\infty;-5)\cup(-4;-2)\cup(1;+\infty)$$.

$$(x+1)(3x^2+2)(x-2)(x+7)<0$$

Так как $$3x^2+2>0$$ при любых $$x$$, то знак выражения определяется произведением

$$(x+1)(x-2)(x+7)<0$$

Нули: $$x=-7,\,-1,\,2$$.

По знакам на промежутках получаем:

$$(-\infty;-7),\ (-1;2)$$

Ответ: $$(-\infty;-7)\cup(-1;2)$$.

$$\frac{3x-1}{3x+1}+\frac{x-3}{x+3}\ge 2$$

ОДЗ: $$x\ne -\frac13,\ x\ne -3$$.

$$\frac{3x-1}{3x+1}+\frac{x-3}{x+3}-2\ge 0$$
$$\frac{(3x-1)(x+3)+(x-3)(3x+1)-2(3x+1)(x+3)}{(3x+1)(x+3)}\ge 0$$
$$\frac{3x^2+8x-3+3x^2-8x-3-2(3x^2+10x+3)}{(3x+1)(x+3)}\ge 0$$
$$\frac{-20x-12}{(3x+1)(x+3)}\ge 0$$
$$\frac{20x+12}{(3x+1)(x+3)}\le 0$$
$$\frac{5x+3}{(3x+1)(x+3)}\le 0$$

Критические точки: $$x=-3,\ -\frac35,\ -\frac13$$.

По знакам на промежутках получаем:

$$(-\infty;-3)\cup\left[-\frac35;-\frac13\right)$$

Ответ: $$(-\infty;-3)\cup\left[-\frac35;-\frac13\right)$$.

$$\frac{1-3x}{1+3x}+\frac{1+3x}{3x-1}\ge \frac{12}{1-9x^2}$$

ОДЗ: $$x\ne -\frac13,\ x\ne \frac13$$.

$$\frac{1-3x}{1+3x}+\frac{1+3x}{3x-1}-\frac{12}{1-9x^2}\ge 0$$
$$\frac{(1-3x)^2-(1+3x)^2-12}{1-9x^2}\ge 0$$
$$\frac{1-6x+9x^2-1-6x-9x^2-12}{1-9x^2}\ge 0$$
$$\frac{-12x-12}{1-9x^2}\ge 0$$
$$\frac{x+1}{1-9x^2}\le 0$$

Критические точки: $$x=-1,\ -\frac13,\ \frac13$$.

По знакам на промежутках получаем:

$$[-1;-\frac13)\cup\left(\frac13;+\infty\right)$$

Ответ: $$[-1;-\frac13)\cup\left(\frac13;+\infty\right)$$.