Упр.807 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что если n — натуральное число и n>1, то n^4 +4 — составное число. Сторона параллелограмма на 2 см больше высоты, опущенной н эту сторону. Найти длину этой стороны, если площадь параллелограмма больше 15 см^2.

Подробный ответ

1) Докажем, что число $$n^4+4$$ при натуральном $$n>1$$ составное:

$$ n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2=(n^2+2)^2-(2n)^2 $$
$$ (n^2+2-2n)(n^2+2+2n) $$

Так как $$n>1$$, то оба множителя больше $$1$$. Значит, $$n^4+4$$ — составное число.

2) Пусть высота параллелограмма равна $$x$$ см, тогда сторона, к которой она проведена, равна $$x+2$$ см. По условию площадь больше $$15$$ см², значит:

$$ x(x+2)>15 $$
$$ x^2+2x-15>0 $$
$$ x^2+2x-15=0 $$
$$ (x+5)(x-3)=0 $$
$$ x_1=-5,\quad x_2=3 $$

Так как $$x$$ — высота, то $$x>0$$. Для неравенства получаем $$x>3$$.

Тогда сторона параллелограмма:

$$ x+2>3+2=5 $$