Упр.807 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Доказать, что если $$n$$ — натуральное число и $$n>1$$, то $$n^4+4$$ — составное число.
2. Сторона параллелограмма на $$2\ \text{см}$$ больше высоты, опущенной на эту сторону. Найти длину этой стороны, если площадь параллелограмма больше $$15\ \text{см}^2$$.

1) Докажем, что число $$n^4+4$$ при натуральном $$n>1$$ составное:

$$n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2=(n^2+2)^2-(2n)^2$$
$$(n^2+2-2n)(n^2+2+2n)$$

Так как $$n>1$$, то оба множителя больше $$1$$. Значит, $$n^4+4$$ — составное число.

2) Пусть высота параллелограмма равна $$x$$ см, тогда сторона, к которой она проведена, равна $$x+2$$ см. По условию площадь больше $$15$$ см², значит:

$$x(x+2)>15$$
$$x^2+2x-15>0$$
$$x^2+2x-15=0$$
$$(x+5)(x-3)=0$$
$$x_1=-5,\quad x_2=3$$

Так как $$x$$ — высота, то $$x>0$$. Для неравенства получаем $$x>3$$.

Тогда сторона параллелограмма:

$$x+2>3+2=5$$

Ответ

$$n^4+4$$ — составное число; сторона параллелограмма больше $$5$$ см.