Упр.806 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Доказать, что если p — простое число и p?5, то остаток от деления p^2 на 12 равен 1. С самолета, находящегося на высоте, большей 320 м, геологам был сброшен груз. За какое время груз долетит до земли? Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с^2.

Подробный ответ

Пусть $$p$$ — простое число и $$p \ge 5$$. Тогда число $$p$$ не делится на $$2$$ и на $$3$$, значит, оно не делится на $$6$$. Следовательно, $$p$$ имеет вид $$6k \pm 1$$.

Тогда

$$ p^2=(6k\pm 1)^2=36k^2\pm 12k+1=12(3k^2\pm k)+1. $$

Значит, при делении $$p^2$$ на $$12$$ остаток равен $$1$$.

Для второго задания используем формулу свободного падения:

$$ h=\frac{gt^2}{2}. $$

Так как $$h>320$$ м, $$g=10\ \text{м/с}^2$$, то

$$ t>\sqrt{\frac{2h}{g}} \ge \sqrt{\frac{2\cdot 320}{10}}=\sqrt{64}=8. $$

Следовательно, груз будет падать более $$8$$ секунд.