Упр.806 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Доказать, что если $$p$$ — простое число и $$p?5$$, то остаток от деления $$p^2$$ на $$12$$ равен $$1$$.
2. С самолёта, находящегося на высоте, большей $$320\ \text{м}$$, геологам был сброшен груз. За какое время груз долетит до земли? Ускорение свободного падения принять равным $$10\ \text{м/с}^2$$.

Пусть $$p$$ — простое число и $$p \ge 5$$. Тогда число $$p$$ не делится на $$2$$ и на $$3$$, значит, оно не делится на $$6$$. Следовательно, $$p$$ имеет вид $$6k \pm 1$$.

Тогда

$$p^2=(6k\pm 1)^2=36k^2\pm 12k+1=12(3k^2\pm k)+1.$$

Значит, при делении $$p^2$$ на $$12$$ остаток равен $$1$$.

Для второго задания используем формулу свободного падения:

$$h=\frac{gt^2}{2}.$$

Так как $$h>320$$ м, $$g=10\ \text{м/с}^2$$, то

$$t>\sqrt{\frac{2h}{g}} \ge \sqrt{\frac{2\cdot 320}{10}}=\sqrt{64}=8.$$

Следовательно, груз будет падать более $$8$$ секунд.

Ответ

$$1; \text{ более } 8\ \text{с}.$$