Упр.805 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 8 класс, Просвещение: Найти все простые числа n такие, что n^2 +8 — простое число. Площадь трапеции больше 19,22 см^2. Средняя линия ее вдвое больше высоты. Найти среднюю линию и высоту трапеции.

1) Пусть $$n$$ — простое число и $$n^2+8$$ тоже простое.

Если $$n=2$$, то $$n^2+8=4+8=12$$ — не простое.

Если $$n>2$$, то простое число $$n$$ обязательно нечётное. Тогда $$n^2$$ тоже нечётно, значит $$n^2+8$$ — нечётное число.

Проверим остаток по модулю 3. Для простого $$n>3$$ число $$n$$ не делится на 3, значит $$n \equiv 1$$ или $$n \equiv 2 \pmod 3$$. Тогда

$$ n^2 \equiv 1 \pmod 3, $$

следовательно,

$$ n^2+8 \equiv 1+8 \equiv 1+2 \equiv 0 \pmod 3. $$

Значит, $$n^2+8$$ делится на 3. Так как $$n^2+8>3$$, это число не может быть простым.

Остаётся проверить $$n=3$$:

$$ 3^2+8=9+8=17, $$

а $$17$$ — простое число.

2) Пусть высота трапеции равна $$x$$ см. Тогда её средняя линия равна $$2x$$ см.

Площадь трапеции:

$$ S = \text{средняя линия} \cdot \text{высота} = 2x \cdot x = 2x^2. $$

По условию:

$$ 2x^2>19{,}22. $$

Тогда

$$ x^2>9{,}61, $$

$$ x>3{,}1 $$

так как $$x$$ — длина и не может быть отрицательной.

Следовательно, средняя линия:

$$ 2x>6{,}2 \text{ см}. $$

Ответ

1) $$n=3$$.

2) Высота трапеции больше $$3{,}1$$ см, средняя линия больше $$6{,}2$$ см.