Упр.804 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
1) (x+2)^2<(2x-3)^2-8(x-5);
2) (2+x)/9-x?(2x-5)/3-(4-x)^2;
3) (2x-3)(x+2)/12-((x-7))/3>(x-6)^2/4+x;
4) 6x+(3+5x)^2/2>(8-2x)/5-(x+3)(x+7)/2.
Докажем, что если $$p$$ — простое число и $$p>3$$, то $$p^2-1$$ делится на $$24$$.
Так как $$p>3$$ и $$p$$ — простое, то число $$p$$ нечётное. Тогда $$p=2m+1$$, где $$m\in \mathbb{N}$$.
$$ p^2-1=(2m+1)^2-1=4m^2+4m=4m(m+1). $$
Произведение двух последовательных чисел $$m$$ и $$m+1$$ делится на $$2$$, значит $$p^2-1$$ делится на $$8$$.
Кроме того, простое число $$p>3$$ не делится на $$3$$, значит $$p\equiv 1 \pmod 3$$ или $$p\equiv 2 \pmod 3$$.
Если $$p=3n+1$$, то
$$ p^2-1=(3n+1)^2-1=9n^2+6n=3n(3n+2), $$
то есть $$p^2-1$$ делится на $$3$$.
Если $$p=3n+2$$, то
$$ p^2-1=(3n+2)^2-1=9n^2+12n+3=3(3n^2+4n+1), $$
то есть $$p^2-1$$ также делится на $$3$$.
Следовательно, $$p^2-1$$ делится и на $$8$$, и на $$3$$. Так как $$8$$ и $$3$$ взаимно просты, то $$p^2-1$$ делится на $$24$$.
Решим неравенства.
1)
$$ (x+2)^2<(2x-3)^2-8(x-5) $$
$$ x^2+4x+4<4x^2-12x+9-8x+40 $$
$$ -3x^2+24x-45<0 $$
$$ 3x^2-24x+45>0 $$
$$ x^2-8x+15>0 $$
$$ (x-3)(x-5)>0 $$
Отсюда $$x<3$$ или $$x>5$$.
2)
$$ \frac{x+2}{9}-x\le \frac{2x-5}{3}-(4-x)^2 $$
Умножим на $$9$$:
$$ x+2-9x\le 3(2x-5)-9(4-x)^2 $$
$$ 2-8x\le 6x-15-9(16-8x+x^2) $$
$$ 9x^2-86x+161\le 0 $$
$$ 9x^2-86x+161=0 $$
$$ D=86^2-4\cdot 9\cdot 161=400 $$
$$ x_{1,2}=\frac{86\pm 20}{18} $$
$$ x_1=\frac{23}{9},\qquad x_2=7 $$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$ \frac{23}{9}\le x\le 7. $$
3)
$$ \frac{(2x-3)(x+2)}{12}-\frac{x-7}{3}>\frac{(x-6)^2}{4}+x $$
Умножим на $$12$$:
$$ (2x-3)(x+2)-4(x-7)-3(x-6)^2-12x>0 $$
$$ 2x^2+4x-3x-6-4x+28-3(x^2-12x+36)-12x>0 $$
$$ -x^2+21x-86>0 $$
$$ x^2-21x+86<0 $$
$$ x^2-21x+86=0 $$
$$ D=21^2-4\cdot 86=97 $$
$$ x_{1,2}=\frac{21\pm \sqrt{97}}{2} $$
Следовательно,
$$ \frac{21-\sqrt{97}}{2}<x<\frac{21+\sqrt{97}}{2}. $$
4)
$$ 6x+\frac{(3+5x)^2}{2}>\frac{8-2x}{5}-\frac{(x+3)(x+7)}{2} $$
Умножим на $$10$$:
$$ 60x+5(3+5x)^2>2(8-2x)-5(x+3)(x+7) $$
$$ 60x+5(9+30x+25x^2)>16-4x-5(x^2+10x+21) $$
$$ 125x^2+210x+45>{-}5x^2-54x-89 $$
$$ 130x^2+264x+134>0 $$
$$ 65x^2+132x+67>0 $$
$$ 65x^2+132x+67=0 $$
$$ D=132^2-4\cdot 65\cdot 67=1 $$
$$ x_{1,2}=\frac{-132\pm 1}{130} $$
$$ x_1=-\frac{67}{65},\qquad x_2=-1 $$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$ x<-\frac{67}{65}\quad \text{или}\quad x>-1. $$
Ответ
1) $$(-\infty;3)\cup(5;+\infty)$$;
2) $$\left[\frac{23}{9};7\right]$$;
3) $$\left(\frac{21-\sqrt{97}}{2};\frac{21+\sqrt{97}}{2}\right)$$;
4) $$(-\infty;-\frac{67}{65})\cup(-1;+\infty)$$.
