Упр.804 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Доказать, что если $$p$$ — простое число, большее трёх, то значение выражения $$p^2-1$$ делится на $$24$$.
2. Решить неравенство:
   1) $$\left(x+2\right)^2<\left(2x-3\right)^2-8\left(x-5\right);$$
   2) $$\frac{2+x}{9}-x?\frac{2x-5}{3}-(4-x)^2;$$
   3) $$\frac{(2x-3)(x+2)}{12}-\frac{x-7}{3}>\frac{(x-6)^2}{4}+x;$$
   4) $$6x+\frac{(3+5x)^2}{2}>\frac{8-2x}{5}-\frac{(x+3)(x+7)}{2}.$$

Докажем, что если $$p$$ — простое число и $$p>3$$, то $$p^2-1$$ делится на $$24$$.

Так как $$p>3$$ и $$p$$ — простое, то число $$p$$ нечётное. Тогда $$p=2m+1$$, где $$m\in \mathbb{N}$$.

$$p^2-1=(2m+1)^2-1=4m^2+4m=4m(m+1).$$

Произведение двух последовательных чисел $$m$$ и $$m+1$$ делится на $$2$$, значит $$p^2-1$$ делится на $$8$$.

Кроме того, простое число $$p>3$$ не делится на $$3$$, значит $$p\equiv 1 \pmod 3$$ или $$p\equiv 2 \pmod 3$$.

Если $$p=3n+1$$, то

$$p^2-1=(3n+1)^2-1=9n^2+6n=3n(3n+2),$$

то есть $$p^2-1$$ делится на $$3$$.

Если $$p=3n+2$$, то

$$p^2-1=(3n+2)^2-1=9n^2+12n+3=3(3n^2+4n+1),$$

то есть $$p^2-1$$ также делится на $$3$$.

Следовательно, $$p^2-1$$ делится и на $$8$$, и на $$3$$. Так как $$8$$ и $$3$$ взаимно просты, то $$p^2-1$$ делится на $$24$$.

Решим неравенства.

1)

$$(x+2)^2<(2x-3)^2-8(x-5)$$

$$x^2+4x+4<4x^2-12x+9-8x+40$$

$$-3x^2+24x-45<0$$

$$3x^2-24x+45>0$$

$$x^2-8x+15>0$$

$$(x-3)(x-5)>0$$

Отсюда $$x<3$$ или $$x>5$$.

2)

$$\frac{x+2}{9}-x\le \frac{2x-5}{3}-(4-x)^2$$

Умножим на $$9$$:

$$x+2-9x\le 3(2x-5)-9(4-x)^2$$

$$2-8x\le 6x-15-9(16-8x+x^2)$$

$$9x^2-86x+161\le 0$$

$$9x^2-86x+161=0$$

$$D=86^2-4\cdot 9\cdot 161=400$$

$$x_{1,2}=\frac{86\pm 20}{18}$$

$$x_1=\frac{23}{9},\qquad x_2=7$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$\frac{23}{9}\le x\le 7.$$

3)

$$\frac{(2x-3)(x+2)}{12}-\frac{x-7}{3}>\frac{(x-6)^2}{4}+x$$

Умножим на $$12$$:

$$(2x-3)(x+2)-4(x-7)-3(x-6)^2-12x>0$$

$$2x^2+4x-3x-6-4x+28-3(x^2-12x+36)-12x>0$$

$$-x^2+21x-86>0$$

$$x^2-21x+86<0$$

$$x^2-21x+86=0$$

$$D=21^2-4\cdot 86=97$$

$$x_{1,2}=\frac{21\pm \sqrt{97}}{2}$$

Следовательно,

$$\frac{21-\sqrt{97}}{2}<x<\frac{21+\sqrt{97}}{2}.$$

4)

$$6x+\frac{(3+5x)^2}{2}>\frac{8-2x}{5}-\frac{(x+3)(x+7)}{2}$$

Умножим на $$10$$:

$$60x+5(3+5x)^2>2(8-2x)-5(x+3)(x+7)$$

$$60x+5(9+30x+25x^2)>16-4x-5(x^2+10x+21)$$

$$125x^2+210x+45&gt{-}5x^2-54x-89$$

$$130x^2+264x+134>0$$

$$65x^2+132x+67>0$$

$$65x^2+132x+67=0$$

$$D=132^2-4\cdot 65\cdot 67=1$$

$$x_{1,2}=\frac{-132\pm 1}{130}$$

$$x_1=-\frac{67}{65},\qquad x_2=-1$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$x<-\frac{67}{65}\quad \text{или}\quad x>-1.$$

Ответ

1) $$(-\infty;3)\cup(5;+\infty)$$;
2) $$\left[\frac{23}{9};7\right]$$;
3) $$\left(\frac{21-\sqrt{97}}{2};\frac{21+\sqrt{97}}{2}\right)$$;
4) $$(-\infty;-\frac{67}{65})\cup(-1;+\infty)$$.